Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
Векторные и аксиальные токи коммутируют с полями глюонов и духов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных полей, проще всего записать, введя матрицы Гелл-Манна , действующие в цветовом пространстве (см. приложение В). Если рассматривать кварки трех ароматов (f= 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде
V
(x)=
ff'
q
f
(x)
ff'
q
f'
(x) ,
A
(x)=
ff'
q
f
(x)
ff'
5
q
f'
(x) ,
(10.8)
то возникают следующие коммутационные соотношения:
(x
0
– y
0
)[V
0
(x),V
(y)]=2i(x-y)f
V
(x) ,
(x
0
– y
0
)[V
0
(x),A
(y)]=2i(x-y)f
A
(x) ,
(x
0
– y
0
)[A
0
(x),A
(y)]=2i(x-y)f
V
(x) и т.д.
(10.9)
Соотношения (10.7) и (10.9) получены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию -функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны только для малых расстояний; следовательно, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между полями кварков и глюонов.
Также, легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся или квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (или лагранжианом). Если ток J сохраняется, то соответствующий ему заряд QJ имеет вид
Q
J
=
d
xJ
0
(t,
x)
,
t=x
0
.
Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом:
[Q
J
(t),H(t,
y)]=0.
Здесь H — гамильтониан (плотность функции Гамильтона системы); он связан с тензором энергии-импульса соотношением H=00. Обозначим массовый член, входящий в гамильтониан H, через H':
H'=
q
m
q
q
q.
Тогда, если ток J является квазисохраняющимся, то справедливо соотношение
[Q
J
(t),H'(t,
y)]=i
J
(t,
y).
Конечно, заряд QJ по-прежнему коммутирует с остальными членами гамильтониана H.
§ 11. Ренормализационная группа
Рассмотрим, например, перенормировку кваркового пропагатора. В калибровке Ферми — Фейнмана в рамках -схемы
S
R
(p;g,m)=i
1-(4/3)g
2
A
R
(p
2
)
– m{1-(4/3)g
2
B
R
(p
2
)}
.
(11.1 а)
где
A
R
(p
2
)=
2
1
16
2
0
dx(1-x)
xm
2
+x(1-x)
2
xm
2
– x(1-x)p
2
,
B
R
(p
2
)=
– 2
1
16
2
0
dx(1+x)log
xm
2
+x(1-x)
2
xm
2
– x(1-x)p
2
,
(11.1 б)