Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
Легко видеть, какая требуется зависимость от параметра . Напомним, что параметр 0 входил во все выражения в комбинации
d
D
k=
d
D
k
(2)
D
4-D
0
,
так что зависимость от 0 имеется только в расходящихся частях интегралов
(2/)(4)
/2
(
2
0
)
/2
.
Следовательно, все перенормировочные множители Z имеют вид
Z
j
=1+
C
(1)
j
g
2
16
2
+…,
(11.7 а)
C
(1)
=c
(1)
j
j
{
2
–
E
+log4+log
2
0
2
}
.
(11.7 б)
Коэффициенты перед членом log 2 с точностью до знака совпадают с ранее вычисленными коэффициентами c(1)j. В низших порядках теории возмущений легко показать, что в -схеме перенормировки это утверждение справедливо и в отношении коэффициентов перед членом log 2.
Преобразования вида ->' (или ->') образуют ренормализационную группу17в), впервые введенную в рассмотрение Штюкельбергом и Петерманом [237] (см. также [45, 140]). Инвариантность физических величин по отношению к этой группе преобразований можно использовать (см. § 20) для изучения асимптотического поведения функций Грина. Эффективнее всего это можно сделать, используя уравнение, полученное Калланом [59] и Симанзиком [239], которое рассматривается в следующем параграфе.
17в) В действительности групповая структура возникает только в рамках заданной перенормировочной схемы. Если включить в рассмотрение преобразования вида (R1– >R), изменяющиеся при переходе от одной схемы к другой, то в результате возникает расслоенное пространство.
§ 12. Уравнение Каллана - Симанзика
Уравнение Кадлана — Симанзика (КС) проще всего получить, заметив, что неперенормированные величины u, gu, mu, u не зависят от значения параметра (скажем, в перенормированной схеме MS). Исходя из этого, на основании формул (11.5) и (11.6) немедленно получаем уравнение
d
d
uD
(p
1
,…,p
N-1
;g
uD
,m
uD
,
uD
)=0,
т.е.
{
+g
g
+(1-)
+
q
m
q
m,q
m
q
–
}
x
R
(p
1
,…,p
N-1
;g,m,;)=0.
(12.1)
Здесь введены универсальные функции , k и , определяемые соотношениями
d
d
g=g,
d
d
m
q
=m
q
m,q
,
d
d
={1-}.
(12.2)
и
Z
– 1
=Z
1/2
…Z
1/2
1
N
,
Z
– 1
d
Z
=
d
.
(12.3)
Функции , и можно вычислить, если использовать уравнение (9.10) и учесть, что величины gu, mu и u не зависят от параметра :
=-Z
– 1
g
d
d
Z
g
,
m,q
=-Z
– 1
m
d
d
Z
m
,
=-Z
d
Z
– 1
d
.
(12.4)
Уравнение (12.1) в приведенном выше виде неудобно, так как содержит частную производную по параметру /. Но его можно представить в более удобной форме, если использовать соображения размерности. Предположим, что размерность величины R равна ; тогда величина – R является безразмерной19), поэтому она может зависеть только от безразмерных отношений размерных параметров. Изменим масштаб импульсов, являющихся аргументами функции Грина, в раз: pi– >pi. В результате получим
19) Размерность полей, входящих в определение функции Грина, легко вычислить, если учесть, что действие =d4xL(x) безразмерно. Отсюда следует, что размерность кварковых полей [q]=[M]3/2, полей духов []=[M], глюонных полей [B]=[M]. Размерность же функции Грина выражается через размерности полей, фигурирующих в её определении. Например, размерность фермионнного пропагатора S=-1 (слагаемые 3/2+3/2 возникают из размерностей полей кварков, а 4 - из элемента объёма четырёхмерного пространства d4x).