Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
D
(кварки)
R tr
i+T
F
g^2
16^2
– 4
1
0
dx x(1-x)
f
m
2
f
– x(1-x)q^2
m
2
f +x(1-x)^2
Положим Q^2=-q^2. В случае, когда Q^2, >>m^2f, справедливо приближенное равенство
1
0
dx x(1-x) log
m
2
f
– x(1-x)Q^2
m
2
f +x(1-x)^2
1
6
log
Q^2
^2
+O
m
2
f
^2
,
m
2
f
Q^2
;
для случая m^2f>>^2,Q^2 имеем
1
0
dx x(1-x)
log
m
2
f
– x(1-x)Q^2
m
2
f +x(1-x)^2
O
^2
m
2
f
,
Q^2
m
2
f
;
§ 29. Массовые члены и свойства инвариантности; киральная инвариантность
В § 28 мы видели, что при энергиях Q>>,, когда теория возмущений по бегущей константе связи может иметь смысл, можно пренебречь существованием кварков с массами m>>Q. В этом параграфемы рассмотрим противоположный случай, когда массы кварков удовлетворяют условию m<<. Поскольку единственным размерным параметром в квантовой хромодинамике, как мы полагаем, является параметр обрезания 42б), можно ожидать, что в некотором приближении допустимо пренебречь массами этих легких кварков, которые могут привести к поправкам лишь порядка m^2/^2 или m^2/Q^2.
42б) Неясно, конечно, какой из параметров: или параметр 0 , определяемый формулой s(^20)1, является основным. Смысл неравенства m<< также неоднозначен. Очевидно, что 0 , поэтому в действительности, помимо эвристических соображений, нет никаких указаний, которые помогли бы решить, какие кварки считать легкими в промежуточных случаях. Почти нет сомнений в том, что кварки u и d следует отнести к типу "легких"; в отношении кварка s ситуация менее ясна.
Вернемся к вопросам, обсуждавшимся в § 10. Рассмотрим лагранжиан КХД
L
=
–
n
l=1
m
l
q
l
q
l
+i
n
l=1
q
l
q
l
–
1
4
(DxB)^2
+
члены, фиксирующие калибровку,
+
духи.
(29.1)
Суммирование проводится только по легким кваркам, массы которых удовлетворяют неравенству m^2<<^2. Возможное существование тяжелых кварков никак не сказывается на дальнейших рассуждениях. Рассмотрим совокупность преобразований W+ в группе UL(n)xUR(n) (произведение левых и правых преобразований)
1±5
2
q
i
– >
l'
W
±
ll'
1±5
2
q
l'
,
(29.2)
где W±— унитарные матрицы. Очевидно, что единственным членом лагранжиана, неинвариантным относительно преобразований (29.2), является массовый член
M=
n
l=1
m
l
q
l
q
l
.
(29.3)
Записанный в таком виде, массовый член инвариантен относительно совокупности преобразований [U(1)]n:
q
i
– >e
ii
q
l
(29.4)
но он не инвариантен, если допустить существование в массовой матрице недиагональных членов. Чтобы решить вопрос о том, какими общими инвариантными свойствами обладает массовый член общего вида, докажем две теоремы.
Теорема 1. Любую массовую матрицу общею вида можно записать в виде (29.3), проведя подходящее переопределение кварковых полей. Кроме того, можно допустить, что m>=0. Поэтому выражение (29.3) фактически является массовым членом самого общего вида.
Доказательство. Пусть левые и правые кварковые поля определяются формулами
q
L
=
1
2
(1-
5
)q , q
R
=
1
2
(1+
5
)q .
Наиболее общий массовый член, совместимый с условием эрмитовости лагранжиана, имеет вид
M'=
ll'
q
iL
M
ll'
q
l'R
+
q
iR
M*
ll'
q
lL