Чтение онлайн

D

tr

(q^2;g,m;^2)

=

D

tr

(^2;

g

,

m

;^2)exp

–

log

0

d log '

D

[

g

(')]

.

(28.3)

В используемой нами физической калибровке (см. (9.18)) аномальная размерность глюонного пропагатора равна D=20g^2/16^2, а, следовательно, поперечная часть глюонного пропагатора определяется выражением

D

tr

(q^2;g,m;^2)

=

2

Q^2/^2

D

tr

(^2;

g

,

m

;^2).

(28.4)

Рассмотрев пропагатор в точке p=m, получаем следующий результат42):

42) Здесь и ниже из выражения для пропагатора исключен общий множитель 1/q2 . Прим. перев.

D

tr

(^2;

g

,

m

;^2)

=

K

+

2s(Q^2)TF

x

1

0

dx x(1-x)log

m^2+x(1-x)^2

^2

,

где K– константа. Сначала выберем =; тогда

D

tr

(q^2;g,m;^2)

=

2

log Q^2/^2

K+

2s(Q^2)TF

x

1

0

dx x(1-x)log

x(1-x)+

m^2(Q^2)

^2

.

(28.5)

Если m>>, то справедливо приближенное равенство

D

tr

q^2;g,m;^2)

K+

s(Q^2)TF

log

m^2(Q^2)

^2

2

log Q^2/^2

.

(28.6)

Если m^2>>Q^2, то поправки к константе K в формуле (28.6) велики, и такое приближение становится малопригодным. Этого и следовало ожидать: схема перенормировок MS так же, как и любая другая не зависящая от масс перенормировочная схема (подобная схеме, предложенной в работе [258]), с неизбежностью разрушает сходимость в случае, если существует масса, превышающая характерный масштаб импульсов. Решение этой проблемы заключается в использовании числа кварковых ароматов nf зависящего от масштаба импульсов, например 42а)

42а) Возможны и другие интерполяционные формулы или процедуры (см. [76] и особенно работу [258], где можно найти подробное обсуждение этого вопроса, включая вычисление зависимости от эффективного значения nf). Какой из интерполяционных формул пользоваться, в значительной мере безразлично, так как в КХД зависимость всех величин от nf в области nf=3-6 очень слабая.

n

f

(Q^2)=

nf

f=1

1-

4m

2

f

Q^2

1/2

1+

2m

2

f

Q^2

(Q^2-4m

2

f

).

(28.7)

Необходимо доказать, что такая процедура последовательна. Что формула (28.7) справедлива для значений Q больших, чем все массы кварков, мы уже знаем; поправки имеют величину O(m^2q/Q^2). Завершим доказательство, показав, что эта формула справедлива и для случая Q^2<

Поскольку вклады кварков и глюонов в выражение для глюонного пропагатора Dtr аддитивны, достаточно рассмотреть только первый из них. В ведущем порядке теории возмущений имеем

D

(кварки)

tr

=1-

g

1

0

dx x(1-x)log

x(1-x)Q^2+m^2

^2

(28.8)

В этом порядке необходимости учета перенормировки величин ag или m не возникает. Для случая Q^2<

D

(кварки)

tr

=1-

g

6

log

m^2

^2

–

g

30

·

Q^2

m^2

,

(28.9)

т.е. результат, постоянный с точностью до членов O(Q^2/m^2). Следовательно, с точностью до этих членов он совпадает с глюонным пропагатором, вычисленным для нулевого числа ароматов, но имеет другое значение параметра '^2, а именно '^2=^2{1+log m^2/nu^2}. Так как физические наблюдаемые не зависят от значения , тяжелыми кварками, приводящими только к членам O(Q^2/m^2), можно пренебречь .

Случай глюонного пропагатора особенно прост; в общем случае поправки имеют величину порядка log(m^2/Q^2)(Q^2/m^2).

Теорема "развязки" особенно наглядна в -схеме перенормировок. Рассмотрим снова вклад кварков в выражение для глюонного пропагатора. Проводим вычисления во втором порядке теории возмущений и, вспоминая выражение (9.21), получаем

D

(кварки)

u tr

(q^2)

=

i+T

F

g^2

16^2

2

3

N

n

f

– 4

1

0

dx x(1-x)

x

nf

f=1

log

m

2

f

– x(1-x)q^2

2

0

+ … .

Напомним, что -схема перенормировок возникает, если потребовать выполнения условия D(кварки)R tr(q^2=-^2)=Dсвоб. tr(-^2), а следовательно справедливо равенство