Чтение онлайн

Если x– y > 1, то получим систему

следствием которой является система

Подставляя в первое уравнение y = 3/x, получим уравнение

x4– 8x^2 - 9 = 0.

Так как x^2 /= -1, то остается x^2 = 9, откуда x = 3, а y = 1. (Ограничение x– y > 1 удовлетворяется.)

Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что x– y > 0, что уже сделано.

Ответ.

11.28. Прологарифмируем и обозначим log2 x = u, log2 (y + 1) = u:

откуда

Находим соответствующие x и y; проверка не обязательна, так как равносильность не была нарушена.

Ответ. (2, 15); (2, 3).

11.29. Так как loga^2 x = 1/2 loga x (обратите внимание на то, почему мы не пишем здесь log|a| x), а logb y = logb y, то систему можно переписать следующим образом:

Это — следствие первоначальной системы; если же добавить условия y > 0, b > 0, b /= 1, то получим равносильную систему.

Из первого уравнения

Подставляем во второе и находим

Условие

Ответ. При 0 < а < 1, 1 < а < 8 и при b > 0, b /= 1

11.30. Пусть 3x + 1 = u, 3y + z–  x = v, тогда первые два уравнения примут вид

откуда u = 9, v = 9. Следовательно, x = 1, а y + z– x = 2, т. е. y + z = 3. Последнее уравнение данной системы примет теперь простой вид

lg уz = lg 2,

следствием которого будет

уz = 2.

Решаем систему

Проверкой убеждаемся, что мы нашли решения исходной системы уравнений.

Ответ. (1, 1, 2); (1, 2, 1).

12.1. В первых квадратных скобках после упрощений получим 2/sin x, вторые квадратные скобки заключают в себе выражение

Второе слагаемое легко приводится к виду

Ответ.

12.2. Так как сумма углов 30° - и 60° - равна 90° - 2, то

tg [(30° - ) + (60° - )] = ctg 2,

или

откуда следует наше тождество.

12.3. Рассмотрим выражение

Так как ctg x = 1/2 (ctg x/2–  tg x/2), то

ctg x + 1/2 tg x/2 = 1/2 ctg x/2.

Аналогичные преобразования можно продолжить и дальше:

что и доказывает тождество.

12.4. Перепишем равенство

sin cos ( + ) = sin

в виде

sin cos ( + ) = sin [( + ) - ],

т. е.

sin cos ( + ) = sin ( + ) cos - sin cos ( + ),

или

2 sin cos ( + ) = sin ( + ) cos .

Из условия следует, что cos ( + ) /= 0 и cos /= 0. Разделим последнее равенство на cos ( + ) cos . Получим

2 tg = tg ( + ).

12.5.

Применяя последовательно формулу синуса двойного угла, приведем числитель к виду

Ответ.– 1/8.

12.6. Вычислим вначале произведение косинусов:

Теперь вычислим произведение квадратов синусов, умноженное на 8:

Раскроем скобки и преобразуем каждое произведение двух косинусов в сумму косинусов. После приведения подобных получим

Теперь можно найти произведение тангенсов.

Ответ. 7 .

12.7. Преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:

и воспользуемся условием. Получим

12.8. Доказательство представляет собой цепочку преобразований sin (x + y) sin (x– y) = sin^2 x cos^2 y– cos^2 x sin^2 y = k^2 sin^2 y cos^2 y– cos^2 x sin^2 y = sin^2 y (k^2 cos^2 y– cos^2 x).

Так как cos^2 x = 1 - k^2 sin^2 y, то выражение в скобках равно k^2 - 1. По условию -1 <= k <= 1, т. е. k^2 - 1 <= 0, и, следовательно, sin (x + y) sin (x– y) <= 0.

12.9. Вычислим а^2 + b^2:

а^2 + b^2 = 2 + 2 (cos cos + sin sin ) = 2 + 2 cos ( - ) = 4 cos^2–  /2. Теперь преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать: