Чтение онлайн

что и требовалось доказать.

12.10. Обозначим sin^2 = а, sin^2 = b, sin^2 = с. Тогда данное в условии соотношение примет вид

т. е.

2abс + аb(1 - с) + bс(1 - а) + ас(1 - b) - (1 - а)(а– b)(1 - с) = 0.

После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные члены, получим

– 1 + с + b + a = 0,

что в первоначальных обозначениях соответствует равенству sin^2 + sin^2 + sin^2 = 1.

12.11.

При преобразованиях мы пользовались формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Ответ.– 3.

12.12. Так как

ctg + ctg = 2 ctg и = /2– ( + ),

то

Углы и острые. Поэтому ctg > 0 и ctg > 0 и на их сумму можно сократить:

откуда легко найти произведение котангенсов.

Ответ. 3.

12.13. Преобразуем данное выражение:

sin (90° + 16°) + cos (90° + 16°) ctg 8° = cos 16° - sin 16° ctg 8° = cos 16° - 2 sin 8° cos 8° cos 8°/sin 8° = cos 16° - 2 cos^2 8° = cos 16° - (1 + cos 16°) = -1.

13.1. Так как 2 sin (x + /4) = sin x + cos x, то

1 + sin 2x + 2 cos 3x sin x + 2 cos 3x cos x = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

Объединим одночлены, содержащие cos 3x и все оставшиеся одночлены:

2 cos 3x (sin x + cos x– 1) + 2 sin x (sin x + cos x– 1) = 0.

Получим уравнение

(sin x + cos x– 1)(cos 3x + sin x) = 0.

Если sin x + cos x = 1, т. е. (x - /4) = 1/2 , то

x = n/2– /8 и x = n + /4.

Ответ. 2n; 2n + /2; n/2– /8; n + /4.

13.2. Данное уравнение можно преобразовать так:

или

Последнее уравнение равносильно системе

Решая уравнение этой системы, найдем

cos x = 1, откуда x = 2k,

cos x = sin x, tg x = 1, откуда x = /4 + k.

Так как при x = 2k и x = /4 + k условие sin^2 x /= 1 выполняется, то найденные значения x являются корнями данного уравнения.

Ответ. x = 2k; x = /4 + k.

13.3. Поскольку

 мы приходим к уравнению

Левая и правая части этого уравнения содержат общий множитель 1 - cos x/1 - sin x. Поэтому уравнение можно записать в виде

Первые корни получаем из уравнения cos x = 1, откуда x = 2k.

Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим уравнение

Числитель легко разложить на множители, если сгруппировать однородные члены:

(sin^2 x– cos^2 x) + sin x cos x (sin x– cos x) = (sin x– cos x)(sin x + sin x cos x + cos x).

Знаменатель можно отбросить, так как при cos x = 0 ни одна из скобок в разложении числителя не обращается в нуль. Заботиться о том, чтобы 1 + sin x + sin^2 x не обращалось в нуль, не нужно, так как это выражение всегда положительно.

Если sin x– cos x = 0, то tg x = 1, откуда x = /4 + k.

Остается решить уравнение

sin x + sin x cos x + cos x = 0.

Мы знаем, что (sin x + cos x)^2 = 1 + 2 sin x cos x. Отсюда

Сделав такую замену в оставшемся уравнении, получим квадратное уравнение относительно y = sin x + cos x

y^2 + 2y– 1 = 0.