Чтение онлайн

Корни этого уравнения

y1,2 = -1 ± 2.

Записав sin x + cos x в виде 2 cos (x– /4), мы убедимся, что корень y1 = -1 - 2 является посторонним. Остается

cos (x – /4) = 1 - 1/2,

откуда

x = 2k ± arccos (1 - 1/2) + /4.

Ответ. 2k; /4 + k; 2k ± arccos (1 - 1/2) + /4.

13.4. Данное уравнение эквивалентно системе

Преобразуя левую и правую части уравнения в сумму тригонометрических функций, мы получим уравнение

cos 9x = 0, откуда x = /18(2n + 1).

Из найденных значений x нужно выбрать те, при которых

cos 2x cos 7x /= 0, т. е. cos 5x + cos 9x /= 0.

Так как речь идет о значениях неизвестного, при которых cos 9 x = 0, то остается потребовать, чтобы cos 5x /= 0, т. е. 5 · /18(2n + 1) /= /2(2k + 1), откуда 5(2n + 1)/9 /= 2k + 1. Число 5(2n + 1)/9 не может быть четным, так как в его числителе лишь нечетные множители.

Оно будет целым, когда = 2n + 1/9 = 2n + 1, т. е. при n = 9m + 4.

Следовательно, корнями уравнения являются числа x = /18(2n + 1) при n /= 9m + 4.

Ответ. /18(2m ± 1); /18(18m ± 3); /18(18m ± 5); /18(18m ± 7).

13.5. Если запишем данное уравнение в виде

то получим равносильное уравнение. Однако дальнейшие преобразования заставляют нас ввести ограничения:

Далее

Когда tg x /= 0, то и sin x /= 0. Это означает, что первое уравнение можно переписать в виде 1/cos x = 2, откуда cos x = 1/2 , что обеспечивает выполнение всех ограничений.

Ответ. 2n ± /3.

13.6. Прибавив к обеим частям уравнения tg 3x, получим

3(tg 3x– tg 2x) = tg 3x (1 + tg^2 2x),

или

Последнее уравнение эквивалентно системе

Решим первое уравнение. Для этого представим произведение sin x cos 2x в виде разности синусов. После приведения подобных членов получим

sin 3x = 3 sin x.

Воспользовавшись формулой синуса тройного угла, придем к уравнению

sin x (3 - 4 sin^2 x) = 3 sin x, или sin^3 x = 0,

откуда x = k.

Легко проверить, что при x = k ни cos 2x, ни cos 3x в нуль не обращаются.

Ответ. k.

13.7. Преобразуем уравнение следующим образом:

(sin x + cos x)(1 - sin xcos x) + 1/2 sin 2xsin (x + /4) = sin (/2– x) + sin 3x.

Так как sin x + cos x = 2 sin (/4 + x), то придем к уравнению

sin (/4 + x) = 2 sin (/4 + x ) cos (/4– 2x).

Если sin (/4 + x) = 0, то x1 = /4(4n– 1). Остается

2 cos (/4– 2x) = 1,

откуда

x2 = n, x3 = /4(4n + 1).

Серии чисел x1, = /4(4n– 1) и x3 = /4(4n + 1) можно объединить: x1 = /4(2n + 1).

Ответ. /4(2n + 1); n.

13.8. Перепишем уравнение следующим образом:

4(tg 4x– tg 3x) = tg 2x (1 + tg 3x tg 4x).

Приведем выражения в скобках к виду, удобному для логарифмирования:

Уравнение равносильно системе

Так как cos x = 0 не удовлетворяет уравнению, то его можно переписать так:

4 tg x = tg 2x, или 2 tg x = tg x/1 - tg^2 x.

Мы воспользовались неабсолютным тождеством, которое исключает из области определения те значения x, при которых tg x не существует. Однако tg x входил в предыдущее уравнение, а потому существует, и потеря корней произойти не может. Из последнего уравнения, если tg x = 0, получаем x = n.