Чтение онлайн

Других решений y системы нет.

Ответ. (1, 1, 1), (-1, -1, 1).

17.4. Неравенство

|x + 2| <= x + 2

имеет решение x >= -2.

Обозначим

2x– 1 = y, sin x/2 = z. (8)

Тогда уравнение, входящее в систему, примет вид

(4у + y + 1/y)z + (1 - 2z^2) = 3 + 2y^2,

а после простых преобразований

2z^2 - (5у + 1/y)z + 2(1 + y^2) = 0. (9)

Дискриминант уравнения (9), квадратного относительно z, равен:

D = (5у + 1/y)^2 - 16(1 + y^2) = 9у^2 - 6 + 1/y^2 = (3у– 1/y)^2.

Поэтому решениями уравнения (9) будут:

z1 = 1/4 [5у + 1/y– (3y– 1/y)] = 1/2 (y + 1/y), (10)

z2 = 1/4 [5у + 1/y + (3у– 1/y)] = 2y.

Из (8) следует, что y > 0. Из неравенства, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, при y > 0 вытекает неравенство: y + 1/y >= 2. Однако z = sin x/2, т. е. |z| <= 1. Но

z1 = 1/2 (y + 1/y).

Поэтому одновременно |z1| <= 1 и z1 >= 1, т. е. имеется единственная возможность z1 = 1, что достигается при y = 1, а следовательно, при x = 1. Подставим значение x = 1 в исходную систему и убедимся, что это ее решение.

Для z2 получим

sin x/2 = 2x, где x >= -2. (11)

При x > 0 решений уравнение (11) не имеет, поскольку тогда 2x > 1, а |sin x/2| <= 1.

Значение x = 0 тоже решением не является, в чем убеждаемся непосредственной проверкой.

Когда -2 <= x < 0, решений тоже нет, так как при этих x значения 2x положительны, а значения sin x/2 <= 0.

Ответ. x = 1.

17.5. Первообразная F(x) для функции f(x) = 6х^2 + 2x + 6 равна:

F(x) = 2x^3 + x^2 + 6х + С, (12)

где константа С будет определена. Соответственно

f'(x) = 12x + 2. (13)

В точке касания x0 > 0,7 должны иметь место следующие соотношения:

т. е. получаем систему

Уравнение (15) после упрощений принимает вид

Из его двух корней x0 = 2/3 и x0 = 1 условию (16) удовлетворяет только второй. Подставляем x0 = 1 в уравнение (14) и находим, что С = 5. Окончательно

F(x) = 2x^3 + x^2 + 6х + 5.

Остается сформировать данное в условии задачи неравенство

которое примет вид

Разложим числитель на множители

и воспользуемся методом интервалов (рис. P.17.5). Ограничение x > 0,7 относилось только к расположению точки касания графиков f(x) и F(x). Здесь его учитывать не нужно.

Ответ. x (-; -1/6) [ 1/2 ; +).

17.6. По условию разность x– y такова, что может быть основанием логарифма. Поэтому возможна замена 1 = logx– y (x– y), а данное в условии неравенство равносильно такому:

Так как (x– y) — основание логарифма, то либо 0 < x– y < 1, либо x– y > 1. Получим совокупность двух систем, которую затем несколько преобразуем, чтобы удобнее было перейти к графическим изображениям:

Последние два неравенства первой системы можно упростить, поскольку имеет место условие x– y > 0. Получим

Решение первой системы показано на рис. P.17.6, а, решение второй — на рис. P.17.6, б, а решение совокупности — на рис. P.17.6, в.

Внимание! Интервалы оси абсцисс (0, 1) и (1, +) принадлежат множеству решений. Остальные точки границы ему не принадлежат.