Чтение онлайн

отсюда

т. е.

а^2 -2a + 1 = п^2 + 20, т. е. (а– 1)^2 - п^2 = 20,

или

(а– n– 1)(а + n– 1) = 20.

Остается рассмотреть варианты, когда каждая из скобок равна целочисленным множителям числа 20. Начнем со случая

Сложив эти два уравнения, получим уравнение

2a– 2 = 21,

не имеющее целочисленных решений.

Можно сделать более общий вывод: если в правой части других пар уравнений типа (20) и (21) есть один нечетный множитель числа 20, то целочисленных решений y системы аналогичной (20), (21) нет. Остается рассмотреть только случаи

Нетрудно убедиться, что первая и вторая системы приводят к одному значению а = 7, а третья и четвертая — к значению а = -5.

При а = 7 имеем x1 = 3, x2 = 7.

При а = -5 получим x1 = -3, x2 = 1.

Ответ.– 5; 7.

17.11. Обозначим x^2 = y, где y >= 0. Получим квадратное уравнение

y^2 - (1 - 2a)y + а^2 - 1 = 0, (22)

дискриминант которого D = 5 - 4a.

Если 5 - 4a < 0, т. е. а > 5/4, решений нет.

Если 5 - 4a = 0, т. е. а = 5/4, получим уравнение

y^2 + 3/2y + 9/16 = 0

с единственным корнем y = - 3/4 . Однако y >= 0 и потому решений тоже нет.

Пусть теперь а < 5/4 и D > 0. Тогда уравнение (22) имеет корни:

Рассмотрим сначала случаи, когда один из этих корней равен нулю, т. е.

При а = -1 получим уравнение

y^2 - 3y = 0, т. е. y1 = 0, y2 = 3.

Поэтому при а = -1 исходное уравнение имеет три корня 0; -3; 3.

При а = 1 получим

y^2 + y = 0, т. е. y1 = 0, y2 = -1.

Поскольку y >= 0, то при а = 1 остается одно решение x = 0.

Теперь осталось рассмотреть два случая:

y1 > 0 и y2 > 0.

В первом случае нужно решить неравенство

Оно равносильно системе

0 < 5 - 4a < (1 - 2a)^2

(слева строгое неравенство, так как имеет место условие а < 5/4), т. е.

0 < 5 - 4a < 1 - 4a + 4a^2.

Правое неравенство дает нам а^2 > 1. Таким образом, для y1 > 0 получим

а < -1, 1 < а < 5/4.

Для y2 > 0 получим

Если 2a– 1 < 0, т. е. а < 1/2 , то условие а < 5/4 соблюдается. Поэтому при а < 1/2 получим, что у2 > 0. Если же 2a– 1 >= 0, т. е. а > 1/2 , то учтем условие а < 5/4. Возведя неравенство в квадрат, получим а^2 < 1, т. е. во втором случае (а >= 1/2 ) получим 1/2 <= а < 1. Окончательно у2 > 0 при а < 1.

Объединим решения для y1 > 0 и у2 > 0, нанеся их на числовую прямую, учтем результат, полученный для а = 5/4 (рис. P.17.11).

Ответ. При а < -1 уравнение относительно x имеет четыре решения. При а = -1 y него три решения, при -1 < а < 1 два решения, при а = 1 одно решение, при 1 < а < 5/4 два решения, при а >= 5/4 решений нет.

17.12. Пусть sin 4x = y. Тогда данное уравнение преобразуется в квадратное

(a + 3)y^2 + (2a– 1)y + (a– 2) = 0, (23)

где

|y| <= 1. (24)

Уравнение (23) имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, т. е.

D = (2a– 1)^2 - 4(a + 3)(a– 2) = 25 - 8a >= 0. (25)

Кроме того, нужно обеспечить, чтобы по крайней мере один из корней t1 или t2 уравнения (24) не превосходил по абсолютной величине 1.

Пусть сначала D = 0, т. е. а = 25/8. Тогда

Условие (24), как мы видим, соблюдается, и уравнение sin 4x = -3/7 имеет решение.

Уравнение sin z = -3/7 на отрезке [-, ] имеет ровно два решения z1 и z2. Если осуществить замену переменной: z = 4x, то отрезок [-, ] сузится для новой переменной x в четыре раза к началу отсчета и станет отрезком [-/4, /4]. Поэтому на отрезке [-, ] для переменной x разместятся уже не 2, а 8 решений (в силу того, что sin z имеет период 2, а sin 4x имеет период /2). Итак, а = 25/8 — одно из искомых нами значений параметра а.