Чтение онлайн

17.7. Найдем решения неравенства

(x– |x|)^2 + (y– |y|)^2 <= 4 (17)

для каждого квадранта отдельно.

Пусть одновременно x >= 0, y >= 0. Тогда |x| = x, |y| = y. Неравенство (17) приобретет вид 0 <= 4, т. е. оно удовлетворяется при всех x и y из первого квадранта.

Когда x <= 0, y >= 0, точки (x, y) лежат во втором квадранте и на его границе. Тогда |x| = -x, |y| = y и неравенство (17) приобретет вид

(2x)^2 <= 4, т. е. x^2 <= 1, или -1 <= x <= 0,

так как мы рассматриваем значения x <= 0. Это будет полоса шириной 1, расположенная во втором квадранте параллельно оси Оу (рис. P.17.7).

Аналогично в четвертом квадранте получим полосу шириной 1 параллельную оси Ox.

В четвертом квадранте x <= 0, y <= 0 и мы получим из (17) неравенство

х^2 + y^2 <= 1,

т. е. ему удовлетворяют точки четвертого квадранта, лежащие внутри и на границе круга x^2 + y^2 = 1.

Нанесем на рис. P.17.7 точки прямой y = -x. Значения, удовлетворяющие неравенству x + y <= 0, будут лежать под этой прямой и на ней. Нас интересует площадь фигуры, покрытой штриховкой. Эта фигура состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами 1 (в сумме они образуют квадрат со стороной 1) и четверти круга, имеющего радиус 1.

Ответ. 1 + /4.

17.8. Уравнение прямой, проходящей через точки В и D, имеет вид y = 8 - x, а уравнение прямой AC есть 2y = x + 4. Решая эти два уравнения в системе, найдем x = y = 4, т. е. E(4; 4).

Проведем все построения, описанные в указании II на с. 201 (рис. P.17.8).

Дополнительно проведем ЕL || CK, где L HK, CK HK, F — точка пересечения HK и Оу. Искомая площадь может быть определена так:

SABCDE = SFGCK - SCKD - SELD - SELH + SAFH - SAGB.

Каждый из треугольников — прямоугольный с известными катетами.

Ответ. 36.

17.9. Пусть x + y = u, y– x = v. Тогда

а множество решений этой системы проецируется на прямую u = 2. Другими словами, нас интересуют все значения v, при каждом из которых система неравенств (18), (19) имеет хотя бы одно решение. Пусть u — независимая переменная. Она будет абсциссой, а f(u) — ординатой для исследуемой нами плоскости. Величина v — параметр. График функции f(u) — парабола, если v^2 - 1 /= 0. Она обращена ветвями вверх при v^2 - 1 > 0 и ветвями вниз при v^2 - 1 < 0. Отдельно нужно рассмотреть случай v^2 - 1 = 0.

Итак, перед нами три случая.

1. v^2 - 1 < 0, т. е.
– 1 < v < 1. Парабола обращена ветвями вниз. При достаточно больших значениях u > 1 она принимает отрицательные значения. Поэтому в плоскости (u, v) в проекции на прямую u = 2 мы получим интервал -1 < v < 1.

2. v^2 - 1 = 0. Если v = -1, то f(u) 2 и отрицательных решений нет. Если v = 1, то f(u) = 12u, где u > 1. Отрицательных значений, удовлетворяющих системе (18), (19), в этом случае тоже нет.

3. Когда v^2 - 1 > 0, т. е. либо v < -1, либо v > 1 ветви параболы обращены вверх. Правее прямой u = 1 парабола может принимать отрицательные значения в двух случаях:

а) уравнение f(u) = 0 имеет два корня, и при этом абсцисса u0 вершины (u0; v0) параболы превосходит 1, т. е.

После простых преобразований:

Окончательно получим

Система не имеет решений, так как одновременно все три ограничения не удовлетворяются;

б) абсцисса u0 вершины (u0; v0) не больше 1, но f(1) меньше нуля:

После преобразований получим

Обобщим все рассмотренные варианты. Условиям удовлетворяют два интервала значений v, проекции которых в плоскости (u, v) на прямую u = 2 не пересекаются:

v (-3, -2) (-1, 1).

Когда мы вернемся к переменным x и y, ситуация не изменится, так как замена

не ведет к изменению расстояний между соответственными точками в старой и новой системе координат.

Основная трудность этой задачи состояла в том, что исследование пришлось вести одновременно в двух плоскостях (u, f(u)) и (u, v). К тому же, в конечном счете, нас интересует третья плоскость (x, y).

Ответ. 2.

17.10. Если x1 и x2 — целочисленные корни данного уравнения, то x1 + x2 = а + 3, откуда следует, что а = x1 + x2– 3 — целое число. Корни данного уравнения равны