Чтение онлайн

Для оценки правой части уравнения выделим полный квадрат:

– 8x^2 + 12|x| - 1/2 = -2( 2|x| - 3/2)^2 + 4 <= 4.

Поскольку левая часть уравнения не может стать меньше 4, в то время как правая его часть не может превзойти 4, остается проверить те два значения x = ± 3/4 , при которых правая часть достигает своего наибольшего значения. Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = ± 3/4 — корни данного уравнения.

Ответ. x = ± 3/4 .

16.14. Запишем уравнение в виде

или

т. е.

Так как sin x <= 1, а

то (1) имеет единственное возможное решение, когда обе части равенства равны 1. Правая часть равна 1 при x = 0,5. Вычислим sin x при x = 0,5: sin 0,5 = sin /2 = 1.

Ответ. 0,5.

17.1. Запишем данную систему в виде

которую решим относительно f(2x + 1) и g(x– 1):

В уравнении (1) осуществим замену переменной: x– 1 = y, т. е. x = y + 1. Тогда

В уравнении (2) сделаем замену: 2x + 1 = z, т. е. x = z - 1/2. Тогда

Теперь мы знаем, что

Подставим эти значения в неравенство

4f(x) + g(x) <= 0,

которое требуется решить по условию задачи. Получим

или после простых преобразований:

x + 1 >= 0, т. е. x >= -1.

Ответ. x >= -1.

17.2. Сначала заметим, что

f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x(x– 3)^2. (3)

Теперь подставим в (3) вместо x выражение f(x):

f(f(x)) = f(x)[f(x) - 3]^2 = x(x– 3)^2(x^3 - 6x^2 + 9x– 3)^2. (4)

Уравнение f(f(x)) = 0 имеет корни x1 = 0, x2 = 3, а также корни уравнения

x^3 - 6x^2 + 9x– 3 = 0. (5)

При всех x <= 0 значения (6) отрицательны. При всех x >= 4 значения (6) положительны. Поэтому все корни (6) лежат в интервале (0, 4). Найдем корни производной функции (6):

y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(х^2 - 4x + 3) = 3(x– 1)(x– 3).

При x = 1 значение y достигает максимума y = 1, а при x = 3 — минимума -3. Следовательно, функция (6) пересекает по одному разу ось Ox на каждом из интервалов (0, 1), (0, 3), (3, 4), т. е. имеет 3 корня. Таким образом, уравнение (2) имеет 5 различных корней.

Ответ. 5.

17.3. Из второго уравнения находим

5z = + 2k, k — целое,

т. е.

z = 1 + 2k/5, k — целое.

Подставим в первое уравнение:

5 · 2x^2 - 2xy + 1 = (1 + 2k)3y^2 - 1. (7)

Если y — целое, то 3y^2 - 1 — целое при всех y /= 0. Рассмотрим вначале случай y = 0. Тогда уравнение (7) примет вид

5 · 3 · 2x^2 + 1 = 2k + 1,

и целых решений y него нет, поскольку при любых целых x слева — четное число, а справа — нечетное. Итак, y /= 0. Так как множителя 3 в левой части (7) нет, то это уравнение удовлетворяется только при y^2 = 1. При y = 1 получим

5 · 2x^2 - 2xy + 1 = 2k + 1, т. е. 5 · 2(x– 1)^2 = 2k + 1.

Левая часть последнего уравнения будет четным числом при всех целых x /= 1. Правая часть — нечетное число. Поэтому есть единственная возможность x = 1, а k = 2.

Получим решение: x = 1, y = 1, z = 1.

При y = -1 придем к уравнению

5 · 2(x + 1)^2 = 2k + 1,

которое удовлетворяется только при x = -1 и k = 2. Находим еще одно решение системы: x = -1, y = -1, z = 1.