Чтение онлайн

Выразим скорость течения реки с помощью остальных условий задачи. Если пароход проходит путь от А до В за 40 ч, а путь от С до В за x ч (идет в два раза быстрее, чем с плотами), то скорость парохода вниз по течению реки равна

решая которое найдем: x1 = 24, x2 = 136. Второй корень посторонний, так как 40 - x/2 и 48 - x/2 становятся отрицательными, что не имеет физического смысла.

Ответ. 24 ч.

18.10. Пусть v1, v2 и v3— скорости пловцов, а x– расстояние AC (рис. P.18.10).

Приравниваем времена, за которые пловцы проплыли путь AC:

Из условия встречи в точке D третьего и второго пловцов получим

а из условия встречи в точке E третьего и первого:

Так как в уравнение (4) входят v2 и v3, а в уравнение (5) v1 и v3, то уравнения (3) перепишем в виде

Преобразуем теперь уравнения (4) и (5):

и воспользуемся заменой (6). Получим систему

из которой проще исключить v3. Найдем x = 10. Следовательно, v3 = 1.

Ответ. 1 м/с.

18.11. Обозначим через x часть сосуда, занимаемую раствором кислоты, а объем всего сосуда примем за единицу. После того как сосуд долили q%-м раствором, количество концентрированной кислоты стало

px/100 + q(1 - x)/100,

а новая концентрация

p1 = px + q(1 - x) = (p– q)x + q.

Если вместо p подставить р1, то получим р2, аналогично можно получить р3 и т. д. Приходим к рекуррентному соотношению

рk = x(рk - 1– q) + q.

Вычислим р2:

р2 = x(р1– q) + q = х^2(p– q) + q.

По индукции легко доказать, что

рk = xk(p– q) + q.

Так как pk = r, то получим уравнение

r = xk(p– q) + q,

откуда

Ответ.

18.12. Пусть x и y — скорости автомобиля и мотоцикла соответственно, а z — длина пути AB. Тогда первая встреча произойдет через z/x + y ч после начала движения на расстоянии zy/x + y от пункта В. Те же рассуждения, примененные к отрезку длиной в zy/x + y, позволят найти расстояние между первым и вторым пунктами встречи. По условию это расстояние равно 2z/9, т. е.

zyx/(x + y)^2 = 2/9z, или yx/(x + y)^2 = 2/9.

Это уравнение можно переписать так:

2x^2 - 5ху + 2y^2 = 0, т. е. 2(x/y)^2 - 5x/y + 2 = 0,

откуда

либо x/y = 2, либо x/y = 1/2 . (7)

Очевидно, что эти отношения дают симметричные решения. Если предположить, что скорость автомобиля больше скорости мотоцикла, то x = 2y.

Используем оставшиеся условия задачи. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, т. е. равнялась бы (x– 20) км/ч, то первая встреча произошла бы через 3 ч после начала движения. Получаем уравнение

z/x + y– 20 = 3. (8)

Мотоцикл до встречи преодолел бы в этом случае расстояние в 3y км, а расстояние между пунктами первой и второй встреч составило бы 3yx/x + y– 20. Получаем третье уравнение:

3y(x– 20)/x + y– 20 = 60. (9)