Чтение онлайн

Подставляя вместо x и y их выражения через n, придем к квадратному уравнению

( n + 17 - n– 1/2)(n– 5) = 242n,

т. е. n^2 - 18n– 175 = 0.

Решая это уравнение, найдем n1 = 25, n2 = -7. Второй корень не имеет смысла.

Ответ. 25.

19.14. Пусть братьям a, aq и aq^2 лет. Тогда они получат соответственно x, xq и xq^2 p.

Через 3 года им будет a + 3, aq + 3 и aq^2 + 3 лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:

aq^2 + 3 = 2(a + 3). (1)

При дележе через 3 года младший брат получит x + 105, средний xq + 15. Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы:

x + xq + xq^2 - (x + 105) - (xq + 15) = xq^2 - 120.

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения:

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

2(x + 105) = xq^2 - 120,

т. е.

x(q^2 - 2) = 330. (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки a, то

a(q^2 - 2) = 3. (1')

Сравним с уравнением (3):

x = 110a.

Первое из уравнений (2) можно переписать так:

(110a + 105)(aq + 3) = (110aq + 15)(a + 3), т. е. 5aq– 7a = 6.

Решим его совместно с уравнением (1'):

Из первого уравнения а = 6/5q–  7. Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение

6q^2 - 15q + 9 = 0,

откуда q1 = 3/2 , q2 = 1.

Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через 3 года стать вдвое старше другого.

Ответ. 12, 18, 27.

19.15. Пусть 

а, b, с и а^2, b^2, с^2. Другими словами, 2b = а + с и b4 = а^2с^2. Если первое уравнение возвести в квадрат

4b^2 = а^2 + 2aс + с^2,

а второе записать в виде b^2 = |ac|, то, сравнивая левые части этих равенств, найдем

а^2 + 2aс + с^2 = 4|ac|.

Если а и с одного знака, получаем уравнение

а^2 - 2aс + с^2 = 0, т. е. (а– с)^2 = 0,

откуда а = с. Следовательно, а^2 = с^2 и знаменатель прогрессии

а^2, b^2, с^2 равен 1. Если а и с разных знаков, получаем уравнение

а^2 + 6ас + с^2 = 0.

Разделим на а^2 (по условию а /= 0) и решим уравнение

(c/a)^2 + 6c/a + 1 = о

относительно c/a:

c/a = -3 ± 8.

Так как c^2/a^2 = q^2, то

q^2 = (-3 ± 8)^2.

Числа а^2, b^2 и с^2, образующие геометрическую прогрессию, положительны. Следовательно, q > 0. Таким образом, из последнего уравнения

q2,3 = 3 + 8.

Ответ. 3 - 8; 1; -3 + 8.

19.16. При n = 1 формулы верны:

Предположим, что эти формулы верны для n = k, и докажем, что они верны для n = k + 1:

Так как

 то предел последовательности равен a + 2/3 (b– a) = a + 2b/3.

Ответ. a + 2b/3.

19.17. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

(8a– 3)x + (14a + 5)x = 2k, (14a + 5)x– (8a– 3)x = 2n,

или

(11a + 1)x = k, (3a + 4)x = n.