Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
–
R
(p
1
,…,p
N-1
;g,m,a
– 1
;) = F(p
1
/,…,p
N-1
/;g,m/,a
– 1
).
Чтобы отличать масштаб изменения импульсов от калибровочного параметра, последний обозначим через a=– 1. Теперь, заменяя частную производную / на производную -/, получаем уравнение Каллана-Симанзика
{
–
log
+g
g
+(a
– 1
)
a
– 1
+
q
m
q
(
m,q
– 1)
m
q
+
–
}
x
R
(p
1
,…,p
N-1
;g,m,,)=0.
(12.5)
Чтобы решить это уравнение, введем эффективные, или "бегущие", параметры, определяемые соотношениями
d
g
d log
=
g
(
g
) ,
d
m
d log
=
m
m,q
,
d
a
– 1
d log
=
a
– 1
,
(12.6 а)
и удовлетворяющие граничным условиям
g
=1
=g ,
m
=1
=m ,
a
=1
=a .
(12.6 б)
Тогда решение уравнения Каллана—Симанзика можно записать в виде
R
(p
1
,…,p
N-1
;g,m,;)
=
R
(p
1
,…,p
N-1
;
g
,
m
,
a
– 1
;)
x exp
{
–
log
0
d log '
(
g
('),
m
('),
a
(')
– 1
)
}
.
(12.7)
Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в раз функция Грина R не умножается просто на величину как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает дополнительный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину обычно называют аномальной размерностью функции Грина R. С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей21). Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок, в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.
21) Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].
Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.
§ 13. Перенормировка составных операторов
Для изучения структуры адронов используют внешние электромагнитные и слабые токи, поэтому необходимо рассмотреть не только функции Грина, но и матричные элементы различных составных операторов. Эти операторы можно разбить на две группы: сохраняющихся или частично сохраняющихся операторов и несохраняющихся операторов.
Сохраняющимся является, например, оператор электромагнитного тока Jem=QqVq, где проводится суммирование по всем ароматам кварков, а операторы Vq имеют следующий вид:
V
q
(x)=:
q
(x)
q(x): ;
и во всех порядках теории возмущений удовлетворяют условиям сохранения
V
(x)=0 .
q
(13.1 а)
В качестве примера частично сохраняющегося тока можно привести слабый аксиальный ток
A
qq'
(x)=:
q
(x)
5
q'(x): .
Используя уравнения движения (3.6), легко убедиться, что аксиальный ток удовлетворяет соотношениям
A
qq'
(x)=i(m
q
+m
q'
)J
5
qq'
(x) , J
5
qq'
(x)=:
q
(x)
5
q'(x): ,
(13.1 б)
из которых видно, что в пределе больших энергий, когда можно пренебречь массами кварков, он является сохраняющимся.
Вообще говоря, матричные элементы любого составного оператора представляют собой расходящиеся величины. Но если учесть контрчлены, входящие в лагранжиан КХД, то матричные элементы сохраняющихся и частично сохраняющихся токов оказываются конечными 21a). Физически это очевидно, формальное же доказательство этого утверждения будет приведено ниже.
21a) Отметим, что мы работаем в низшем порядке теории возмущений по слабому и электромагнитному взаимодействиям. В противном случае возникает необходимость включения в формулы слабых и электромагнитных перенормировочных множителей ZF, ZemF и т.д.