Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
– log
2
/
2
0
.
(13.5)
Вычисление перенормировочного множителя ZM проведено в калибровке Ферми-Фейнмана, но нетрудно убедиться, что он является величиной, не зависящей от калибровки.
Если бы мы провели вычисления не для величины qq, а, скажем, для величин qq или q5q' , то получили бы, что аномальные размерности этих операторов равны нулю. Как уже говорилось, это утверждение является частным случаем общего результата, к доказательству которого мы переходим. Пусть ток J представляет собой квазисохраняющийся оператор, т.е. в пределе, когда массы частиц стремятся к нулю, он удовлетворяет условию J(x)=0. Рассмотрим какое-нибудь хронологическое произведение произвольных полей i и тока J
J
(x)
1
(y
1
)…
N
(y
N
) .
Тогда, используя соотношение 0(x0– y0) = (x0– y0), можно получить тождество Уорда
J(x)1(y1)…N(yN)
=
(
J
(x))
1
(y
1
)…
N
(y
N
)
+
N
k=1
(x
0
– y
0
k
)
1
(y
1
)
…
[J
0
(x),
k
(y
k
)]
…
N
(y
N
) .
(13.6)
Пусть справедливо равенство
(x
0
– y
0
k
)[J
0
(x),
k
(y
k
]
=
'
k
(y)
k
(x-k
k
) ;
тогда, если множители ZJ и ZD представляют собой аномальные размерности тока J и его дивергенции J соответственно, а множители J и D являются коэффициентами перед членом -(g2/162)N в выражениях для ZJ и ZD, то, применяя к левой и правой частям (13.6) оператор d/d, получаем
J
J
(x)
1
(y
1
)…
N
(y
N
)
=
m
m
m
J
(x)
1
(y
1
…
N
(y
N
)
+
D
(
J
(x))
1
(y
1
)…
N
(y
N
) .
(13.7)
Уравнение (13.7) может выполняться только в том случае, если J=0, а множители D и m удовлетворяют условию
D
J
=-
m
m
m
J
.
(13.8)
Уравнение (13.8) можно проверить для частного случая, когда ток J записывается в виде J=qq' . При этом используем полученное выше выражение для дивергенции тока
J = i(m-m')qq,
а также явный вид аномальной размерности m , которая вычислена в § 14. Или же можно учесть соотношения (9.17) и (11.6), чтобы убедиться в том, что во втором порядке теории возмущений выполняются равенства
muD(qq)uD = mRZm(qq)uD = MRZM(qq)uD = MR(qq)R ,
с перенормировочным множителем Zm , равным только что вычисленному множителю ZM .
§14. Бегущая константа связи и бегущая масса в КХД; асимптотическая свобода
Вернемся к уравнениям (12.6) и (12.7). Чтобы решить уравнение (12.6), предположим, что при некотором значении параметра перенормированная константа связи достаточно мала для того, чтобы фуыкции , , , можно было разложить в ряд по степеням константы связи g :
=
–
0
g
2
16
2
+
1
g
2
16
2
2
+
2
g
2
16
2
3
+…
,
m
=
(0)
m
g
2
16
2
+
(1)
m
g
2
16
2
2
+… ,
=
(0)
g
2
16
2
+
(1)
g
2
16
2
2
+… .
(14.1)
Значение коэффициента 0 можно получить из выражений (9.30) и (12.4):
0
=
1
3
{11C
A
– 4n
f
F
}
=
1
3