Чтение онлайн

R

(1)

(s)=3

nf

f=1

Q

2

f

1+

s(Q2)

(15.9)

Поправки второго порядка вычислены в работах [67, 95]. В перенормировочной схеме MS во втором порядке теории возмущений

R

(2)

(s)

=

3

nf

f=1

Q

2

f

1+

s(Q2)

+r

2

s(Q2)

2

,

r

2

=

[

2

3

(3)-

11

12

]

n

f

+

365

24

– 11(3)2.0-0.12n

f

(15.10)

Здесь — дзета-функция Римана, а для константы сильных взаимодействий s следует использовать выражение второго порядка теории возмущений.

Необходимо рассмотреть еще вопрос о том, сколько ароматов кварков следует учитывать. Этот вопрос тесно связан с проблемой кварковых масс. Если масса кварка mq удовлетворяет условию s>>m2q , то возникают поправки типа O(m2q/s). В пределе s-> они пренебрежимо малы по сравнению с поправками любого порядка по параметру s . Совершенно иная ситуация возникает, когда m2q>>s и передаваемой энергии недостаточно для рождения дополнительных кварк-антикварковых пар. Этот вопрос будет подробно рассмотрен несколько ниже; здесь же мы примем эвристический рецепт, состоящий в том, что суммы по ароматам кварков следует распространять на ароматы только тех кварков, массы которых удовлетворяют условию m2q<2qs , в окрестности которого могут возникать сложные эффекты, рассматриваться не будет. Можно показать, что в этой области теория возмущений КХД непосредственно не применима.

Рис. 11. Зависимость величины R от s. Штриховой линией показано (ведущее) предсказание КХД для R [265].

С учетом этих замечаний теоретические предсказания хорошо согласуются с экспериментальными данными, как видно на рис. 11, где приведены результаты первой экспериментальной проверки КХД25. Однако из-за больших систематических ошибок экспериментальных данных при такой проверке трудно выйти за рамки ведущего порядка теории возмущений КХД.

25 Более строгое рассмотрение этого вопроса дано в статье [ 29] и а цитированных там работах.

§16. Зависимость параметров теории и вычислений от выбора перенормировочной схемы

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема, задаваемая тем фактом, что фотон и электрон находятся на массовой поверхности. Преимущество такой схемы следует из теоремы Тирринга [245], согласно которой при нулевой энергии фотона амплитуда комптоновского рассеяния (во всех порядках по константе ) точно дается классической формулой. Таким образом, для определения фундаментальных параметров теории и me можно пользоваться классическими выражениями. В квантовой хромодинамике такой выделенной схемы, основывающейся на физических соображениях, нет. Таким образом, необходимо обсудить вопрос об изменениях, возникающих при переходе от одной перенормировочной схемы к другой. Пренебрежем массами кварков и калибровочными параметрами; их введение не внесет каких-либо дополнительных проблем, отличных от обсуждаемых здесь.

Рассмотрим некоторую физически наблюдаемую величину P. Очевидно, она не должна зависеть от перенормировочной схемы, использованной в процессе вычислений. Однако если эту величину представить в виде ряда по степеням константы связи

P=

n

C

n

(R)[

s

(R)]

n

,

(16.1)

то коэффициенты Cn и константа связи s будут зависеть от используемой схемы перенормировки R. Если перейти к новой перенормировочной схеме R' то связь между старой и новой схемами можно найти следующим образом. Разложим величину P, вычисленную в рамках новой перенормировочной схемы, в ряд по степеням константы связи s(R') :

P=

n

C

n

(R')[

s

(R')]

n

,

(16.2)

Подставляя в формулу (16.2) выражение для s(R'), записанное в виде ряда по константе s(R), и приравнивая члены одинакового порядка в (16.2) и (16.1), найдем связь между коэффициентами, вычисленными в исходной и в новой перенормировочных схемах. Разложение константы s(R') по степеням константы s(R) можно записать в виде

s

(R')=

s

(R)

{1+a

1

(R',R)(R)+…}.

Очевидно, что первым членом разложения является единица, так как в нулевом порядке теории возмущений s=g22/(4) не зависит от выбора схемы. Это означает, что C0,1(R)=C0,1(R'). Но все остальные коэффициенты при переходе от одной перенормировочной схемы в другой изменяются:

C

2

(R)=C

2

(R')+a

1

(R',R)C

1

(R')

и т.д.

Рассмотрим, например, величну R, введенную в предыдущем параграфе26. Если ее вычислить в схеме минимального вычитания (в которой устраняются только полюса 2/, а не вся комбинация N=2/-E+log4), то вместо формулы (15.10) получим

26Подробное обсуждение этого вопроса для процессов глубоконеупругого рассеяния можно найти в статье [27]

R

(2)

ms

(s)

=

3

nf

f=1

Q

2

f

1+

s,ms(Q2)

+r

2,ms

s,ms(Q2)

2

,

r

2,ms

=

r

2

(log4-

E

)

33-2nf

12

.

(16.3)

Выражение для константы связи s,ms также отличается от формулы (14.4в). Оно имеет вид

s,ms

(Q

2

)

=

 12 

(33-2nf)log Q2/2

x