Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
q(y):
+
i
z
(2)2(z2– i0)2
:
q
(x)
c
5
q(y):
+
(x<->y, a<->b, <->) + постоянный член
(18.10)
Постоянный член
6ab(gz2– 2zz)
2(z2– i0)4
1
не выписан в явном виде, так как он не дает, вклада в коммутатор, фигурирующий в выражении для адронного тензора W (в других случаях, например при вычислении TVaVb0 , этот член может оказаться лидирующим). Полагая затем y=0 и разлагая регулярные операторы :q…q: в ряды по степеням переменной z, получаем следующее разложение хронологического произведения TVa(z)Vb(0) на световом конусе:
TV
a
(z)V
b
(0)
=
z2->0
– i
n нечетн
d
abc
S
z
2(z2– i0)2
·
z1…zn
n!
x
:
q
(0)
c
D
1
…D
n
q(0):
+
– i
n нечетн
f
abc
z
2(z2– i0)2
·
z1…zn
n!
x
:
q
(0)
c
5
D
1
…D
n
q(0):
+ постоянный член + градиентные члены
+ нечетные по перестановкам (<->, a<->b) члены
(18.11)
Выражение (18.11) приведено к такому виду, что все фигурирующие в нем производные действуют на функции, стоящие справа от них. Чтобы добиться этого, в случае необходимости добавлены градиентные члены. Нечетные относительно перестановок (<-> , a<->b) члены явно не выписаны. При подстановке их в выражение для W все они обращаются в нуль, так как мы рассматриваем диагональные матричные элементы p|TJJ|p29б).
29б) Для процессов, в расчетах которых фигурируют недиагональные матричные элементы, необходимо учитывать градиентные члены. Пример такой ситуации приведен в§ 27, п. 3.
В выражении (18.11) полезно произвести некоторую перегруппировку членов. Мы не будем рассматривать здесь общий случай, а просто продемонстрируем этот метод на примере произведения двух электромагнитных токов. В этом случае (18.8) и (18.11) приводят к следующему выражению (здесь опущены градиентные, постоянные и нечетные по перестановке <-> члены, а также индекс em):
TJ
(z)J
(0)
=
z2->0
i
n нечетн
S
– z
2(z2– i0)2
·
z1…zn
n!
x
:
q
(0)Q
2
e
D
1
…D
n
q(0): ,
где Qe — оператор электрического заряда, действующий в пространстве ароматов:
Q
e
=
2/3
0
– 1/3
0
– 1/3
=
1
2
3
+
1
3
8
.
Далее разобьем это выражение на два члена, один из которых пропорционален тензору g (в дальнейшем он будет отождествлен со структурной функцией f1, а другой не зависит от него (он приводят к функции f2). Это легко сделать, используя явный вид тензоров S. После некоторых переобозначений индексов получаем
TJ
(z)J
(0)
=
z2->0
i
g
1
2(z2– i0)2
n четн
z
1
…z
n
1
(n-1)!
x
:
q
(0)Q
2
e
1
D
2
…D
2
q(0):
+
– 1
22(z2– i0)
n четн
z
1
…z
n
1
n!
x
[:
q
(0)Q
2
e
D
D
1
…D
n
q(0):+(<->)]
(18.12)
где (во втором члене в правой части) использовано равенство z/(z^2-i0)^2=- 1/2 (z^2-0)– 1, при помощи которого действие производной переносится на переменную z1. Наконец, разобьем тензор Q2e на компоненту, пропорциональную единичной матрице (являющуюся синглетом по отношению к преобразованиям группы аромата SUF(3)), и компоненту, пропорциональную оператору Qe и, следовательно, несинглетную по отношению к преобразованиям группы аромата: