Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
(x)
=
ff'
:
q
f
(x)
a
ff'
q
f'
(x): ,
A
a
(x)
=
ff'
:
q
f
(x)
a
ff'
5
q
f'
(x): ,
V
0
(x)
=
f
:
q
f
(x)
q
f
(x): ,
A
0
(x)
=
f
:
q
f
(x)
5
q
f
(x): .
(18.7)
Этим токам можно придать единообразный вид, полагая 0ff'=ff' и считая, что индекс a пробегает значения 0, 1, …, 8. Например, электромагнитный ток кварков записывается в виде
J
em
=
1
2
V
3
+
1
3
V
8
.
(18.8)
Отметим, что матрицы действуют в пространстве ароматов. Мы включаем в рассмотрение кварки трех сортов: q1=u, q2=d, q3=s; учет остальных сортов кварков не представляет трудности. Естественно, во всех формулах подразумевается суммирование по цветовым индексам.
Начнем с рассмотрения свободных полей. Используя теорему Вика, T-произведение двух векторных токов можно записать в виде
TV
a
(x)V
a
(y)
=
T:
q
i
(x)
a
ik
q
k
(x):
:
q
j
(y)
b
jl
q
l
(y):
=
z2->0
2ncab(gz2– 2zz)
4(z2– i0)4
·1
+
(if
abc
+d
abc
)
S
(x-y)
:
q
(x)
c
q
(y):
+
(-if
abc
+d
abc
)
S
(y-x)
:
q
(y)
c
q
(x):
+
… ,
(18.9)
где z=x-y, nc — число цветов (равное 3), а многоточие обозначает четырехкварковые операторы : :qqqq:. Как объяснялось выше, в случае разложения на световом конусе такие операторы дают поправки к основным членам. Мы пока ограничимся рассмотрением только основных эффектов. При получении формулы (18.9) использованы соотношение
Tq
(x)
q
(y)=
– :
q
(y)q
(x):
+S
(x-y) ,
и свойства матриц и (приложения А и В). Заменим пропагатор S выражением, определяющим его поведение на световом конусе:
S(z)
z2->0
i
(2)2(z-i0)2
,
которое легко получить из формулы для пропагатора
S(z)=
i
(2)4
d
4
p e
– ip·z
p2– m2+d0
(приложение Е). После некоторых вычислений с -матрицами (приложение А) формулу (18.9) можно привести к виду
TV
a
(x)V
b
(y)
=
z2->0
2i
(if
abc
+d
abc
)
x
S
z
(2)2(z2– i0)2
:
q
(x)
c