Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
Tr
p2k2
0|
d
(0)
5
u(z)|(p
1
)
x
(p
2
)|
u
(y)
5
d(0)|0+(p
1
<->p
2
).
(27.11)
Сосредоточим внимание на вычислении членов 0|…|. Их можно разложить в ряд по степеням переменных z и y: например,
0|
d
(0)
5
u(z)|(p
1
)
=
n
z1…zn
n!
S0|
d
(0)
5
D
1
…D
n
u(0)|(p
1
);
(27.12 а)
если пренебречь членами, пропорциональными массе пиона, то получаем
(2)
2/3
0
d
(0)
5
D
1
…D
n
u(0)|(p
1
)
i
n+1
p
1
p
11
…p
1n
n
.
(27.12 б)
Все выкладки были выполнены формально. После перенормировки надо заменить константу связи g на бегущую константу g(^2) и учесть, что множитель n приобретает зависимость от : n=n(^2). Чтобы избежать появления логарифмических членов log(Q^2/^2), выберем параметр ^2=Q^2=-(p2– p2)^2. Если теперь "партонную волновую функцию" определить в виде
1
0
d
n
=
n
,
(27.12 в)
то выражение (27.11) можно представить в физически очень наглядном виде
(2)
2/3
0|
d
(0)
5
u(z)|(p
1
)
=
ip
1
1
0
d (,^2)e
ip1·z
(27.13)
и, проведя в (27.11) интегрирование по переменным z,y;k,p , получить следующий результат:
V
(p
1
,p
2
)
=
CFg^2
48
1
0
d(,^2)
1
0
d
*
(,^2)
x
Tr
p2k2
+
(p
1
<->p
2
) ,
(27.14 а)
где
p=p
1
– (1-)p
2
,
k=(1-)p
2
– (1-)p
2
.
(27.14 б)
Таким образом, нам удалось разбить вершину на "мягкую часть", описываемую волновыми функциями и *, и на "жесткую часть" (рис. 24, в и г). Переменные и описывают долю импульса, приходящуюся на каждый кварк. Вычислив след в формуле (27.14), приходим к окончательному результату
F
(q^2)
=
4CFs(Q^2)
6Q^2
1
0
d
(,Q^2)
1-
^2
+O
M
2
Q
2
+O(
2
s
),
Q^2
– q^2
(27.15)
Последняя задача состоит в вычислении зависимости волновой функции от Q^2. Операторы, которые определяют функцию с помощью уравнений (27.12), аналогичны операторам, определяющим несинглетную часть структурных функций в процессах глубоконеупругого рассеяния (§ 19, 20). Но есть и некоторые дополнительные трудности: ввиду недиагонального характера матричных элементов суммарные расходимости приводят к ненулевому вкладу. Операторы N1…nA,n,k, k=0,…,n ,
N
1…n
A,n,k
=
n
d
(0)
5
D
1
…D
k
u(0)
(27.16)
при проведении перенормировок преобразуются друг через друга по формуле
N
A,n,k
– >
k'
Z
n+1,k'