Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
0
u
B
0
, … - свободные поля)
V
(p
1
,p
2
)
=
– (2)^3
g^2
2!
f=u,d
Q
f
d
4
x d
4
y
x
(p
2
)|T
q
f0
(0)
q
f0
(0)
x
a,b
{
u
0
(x)
t
a
u
0
(x)
d
0
(y)
t
b
d
0
(x)
+(x<->y)}
x
B
a
0
B
b
0
(y)|(p
1
).
(27.9)
Рис. 24. Диаграммы, описывающие эксклюзивные процессы (а — г — пионный формфактор).
Различные комбинации порождают диаграммы рис. 24, а и б. Члены, соответствующие диаграммам рис. 24, а, опущены, так как они не дают вклада в конечный результат. Используя для обозначения цветовых индексов символы i, j, k, а в качестве дираковских индексов символы , и и опуская индекс 0, обозначающий свободные поля, вклад диаграммы рис. 24, б можно записать в виде
V
(p
1
,p
2
)
=
– (2)^3g
2
d
4
x d
4
y
x
(p
2
)|
u
i
(0)
d
k'
'
(y)
'
S
'
(-x)t
a
ii'
t
b
kk'
x
'
'
D
(x-y)
ab
u
i'
'
(x)
d
k
(y)|(p
1
)
+
"кросс"-член,
где "кросс" обозначает свертку с другой комбинацией индексов. Можно произвести пространственно-временной сдвиг на величину y. Тогда получаем z=x-y
V
(p
1
,p
2
)
=
(2)^3g^2
d4z
(2)4
d4y
(2)4
d
4
k
d
4
p
x
e
iz·(p-k)
e
iy·(p+p2– p1)
x
(p
2
)|
u
i
(-y)d
k'
(0)
F
|F
F|u
i
'
(z)
d
k
(0)|(p
2
)
'
x
–
p^2k^2
'
'
g
t
c
ii'
t
c
kk'
+(p
1
<->p
2
),
где (p1<->p2) возникает из "кросс"-члена. Вклад калибровочных членов явно не выписан, так как в ведущем порядке теории возмущений он обращается в нуль. При получении последнего выражения введен полный набор состояний; в ведущем порядке вносят вклад только вакуумные состояния:
F
|FF||0|+O(
s
).
Глюонный пропагатор D использован в калибровке Ферми — Фейнмана, но результат (после добавления члена p1<->p2), конечно, является калибровочно-инвариантным. Далее в случае трех цветов (число цветов nc=3)
u
i
'
(z)
d
k
(0)
=
ik
4nc
(
5
)
'
d
(0)
5
u
z
–
ik
4nc
(
5
)
'
d
(0)
5
u(z)+…;
(27.10)
другие члены не дают вклада, так как пион представляет собой синглетное по цвету псевдоскалярное состояние. В самом деле, оператор d5u является оператором твиста 3 и, следовательно, в ведущем порядке теории возмущений может быть опущен. Таким образом, получаем
V
(p
1
,p
1
)
=
(2)^3
CFg^2
48
d4z
(2)4
d4y
(2)4
d
4
k
d
4
e
x
e
iz·(p-k)
e
– iy·(p+p2– p1)
x