Чтение онлайн

Q

4

·

x

4

(1+4x^2m

^2

N /Q^2)5/2

1

d'

x

1

d''

''^2

f

2

('',Q^2),

(25.6)

где — так называемая переменная Нахтмана:

=

2x

1+(1+4x^2m

^2

N /Q^2) 1/2

(25.7)

Следует отметить некоторые особенности полученных формул. Во-первых, при малых значениях переменных x, поскольку поправки на массу мишени ведут себя как x^2m^2N/Q^2, ими можно полностью пренебречь. Эти поправки важны только при больших (но не слишком больших) значениях переменной x . В самом деле, если эти формулы применить к случаю x->1, то возникают неустойчивости. Это происходит по двум причинам. Во-первых, вклад операторов высших твистов (которые рассматриваются ниже) возрастает в пределе x->1. Хотя и ожидается, что обусловленные этими операторами поправки имеют вид 3M^2/Q^2 , где M, т.е. на половину порядка величины меньше, чем поправки на массу мишени, но могут происходить (и, вероятно, происходят) разного рода сокращения40а). Во-вторых, как было показано в § 23, в пределе x->1 теория возмущений неприменима.

40а) Обсуждение этого вопроса можно найти в работах [90,91]

Поэтому более последовательным, по-видимому, было бы разложить 25.6) в ряд по степеням величины m^2N/Q^2 и сохранить только ведущий член. Выражение для поправок на массу мишени в этом случае упрощается и принимает вид

f

TMC

(x,Q^2)

=

f(x,Q^2)

+

x

^2

N

Q

^2

6x

1

x

dy

f(y,Q^2)

y^2

– x

x

f(x,Q^2)-4f(x,Q^2)

.

(25.8)

При этом КХД становится неприменимой, когда поправки второго порядка

~

x^3(

s

)n

2

N

(1-x)Q

2

^2

велики. Другими словами, мы принимаем эту величину в качестве параметра, характеризующего допустимую ошибку вычислений: трудно утверждать, что следует учитывать поправки порядка m4N/Q4 и в то же время пренебрегать поправками порядка M^2/Q^2.

§ 26. Непертурбативные эффекты в e+e– – аннигиляции и операторы высших твистов в процессах глубоконеупругого рассеяния

Мы рассматриваем оба эти эффекта в одном параграфе потому, что, с нашей точки зрения, они связаны друг с другом. Начнем с обсуждения непертурбативных (нетеоретиковозмущенческих) эффектов. Как уже обсуждалось в § 15, для этого необходимо рассмотреть величину , входящую в выражение (15.4)

Рассмотрим хронологическое произведение

TJ

(x)J

(0)

с точки зрения операторного разложения. При малых x для него можно записать разложение по операторному базису, которое в импульсном пространстве с учетом обозначения Q^2=-q^2 имеет вид

i

dx e

iq·x

TJ

(x)J

(0)

=

(-g

q^2+q

q

)

x

C

0

Q^2/^2,g

·1+

f

C

f

Q^2/^2,g

m

f

:

q

f

(0)q

f

(0):

+

C

G

Q^2/^2,g

s

:

G

a

(0)G

a

:+…

.

(21.6)

В § 15 мы рассматривали только первый член разложения C01. Это было сделано по двум причинам. Во-первых, основываясь только на размерном анализе, можно ожидать, что коэффициенты Cf и CG ведут себя следующим образом:

C

f

(constant)

Q4

, C

G

(constant)

Q4

.

(26.2)

Во-вторых, во всех порядках теории возмущений

:

q

q:

0

=0

,

:G^2:

0

=0 ,

(26.3)

Однако, как будет показано ниже (см. § 30 и последующие параграфы), физический вакуум не совпадает с вакуумом теории возмущений, а должен содержать ряд непертурбативных эффектов. Используем индекс vac для обозначения физического вакуума. Весьма вероятно, что в реальном физическом мире выполняются неравенства

:

q

q:

vac

/=0

,

:G^2:

vac

/=0 ,

Вернемся к разложению (26.1). При Q^2-> для любого n член [1/log (Q^2/^2)]n убывает медленнее, чем члены вида (M^2/Q^2)r, и, следовательно, превосходит их. Но могут существовать промежуточные области, где, например, члены (26.2) столь же важны, как и поправки второго порядка к коэффициенту C0 , который является чисто пертурбативным членом. Таким образом, при практическом применении операторного разложения40б) полезно рассмотреть все выражение (26.1) в целом.

40б) Некоторые приложения можно найти в подобных основополагающих работах [229,230]

Результат для коэффициента C0 нам уже известен:

C

0

(Q^2)/^2;g,

=

3

f

Q

^2

f

– 1

12^2

log

– q^2

^2

+

3

4

·

4CF