Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
N
A,n,k
.
(27.17 а)
При k=n элементы матрицы Zn+1,n совпадают с элементами, вычисленными в § 20:
Z
n+1,n
=1+
g^2N
16^2
C
F
4S
(n+1)-3-
2
(n+1)(n+2)
;
(27.17 б)
при k<=n-1 они имеют значения
Z
n+1,n
=
g^2N
16^2
C
F
2
n+2
–
2
n-k
.
(27.17 в)
Чтобы получить операторы, обладающие определенным поведением в пределе Q^2-> 41а), нужно диагонализовать матрицу Z. Пусть этого можно достигнуть при помощи матрицы S ; тогда, обозначив через ^Ak диагональные матрицы, получаем соотношение
41а) Красивый альтернативный метод, основанной на свойствах конформной инвариантности, приведен в работе [117].
A
n
(Q^2)
=
n
k=0
S
nk
^A
k
(Q^2).
(27.18)
Аномальные размерности матриц ^Ak представляют собой собственные значения матрицы Z. Но из треугольного характера матрицы Z следует, что ее собственные значения являются просто ее диагональными элементами. Следовательно, в пределе Q^2-> имеем
^A
k
(Q^2)
Q^2->
[
s
(Q^2)]
dNS(k+1)
^A
k0
В ведущем порядке теории возмущений, учитывая неравенство dNS(k+1) > dNS(1)=0, нужно сохранить только один член в (27.18), так что получаем результат
A
n
(Q^2)
– >
Q^2->
S
n0
^A
00
откуда следует предельное соотношение
1
0
d
(,Q^2)
1-
– >
Q^2->
^A
00
n=0
S
n0
.
Легко убедиться, что элементы Sn0 матрицы S имеет вид
S
n0
=
1
n+2
–
1
n+3
.
Кроме того, известен также элемент ^A00 . Из уравнений, основанных на гипотезе о частичном сохранении аксиального тока (см. § 31, в частности (31.26)), следует равенство
(2)
3/2
0|
d
(0)
5
u(0)|(p)
=ip
2
f
, f
93 МэВ
поэтому величина
A
0
=
1
0
d(,Q^2)=
2
f
не зависит от Q2 . Отсюда получаем ^A00=62f .
Окончательный результат имеет вид41б)
41б) В своем изложении мы следуем работам [53, 105, 116]. Тот же результат можно получить, используя так называемую теорию возмущений на световом конусе [54].
F
(t)
Q^2->
12C
F
f
2
s
(-t)
– t
.
(27.19)
Поправки к этой формула имеют величину O(dNS(3)s=0,6s); в действительности для четных значений n в силу зарядового сопряжения результат оказывается равным нулю.
Пример вычисления пионного формфактора полезен в нескольких отношениях. Из сравнения выражения (27.19) с экспериментальными результатами видно, что теоретическое значение слишком мало. Это, конечно, можно отнести на счет следующих за ведущими пертурбативных поправок. Однако, по-видимому, происходит нечто иное, а именно поправки, связанные с операторами высших твистов, вследствие малости масс кварков u и d становятся чрезвычайно существенными. Действительно, рассмотрим вклад псевдоскалярного члена в выражение (27.10). Смешанный член дает вклады, подавленные по сравнению с выражением (27.19) множителем m^2/t , и им можно пренебречь; но псевдоскалярно-псевдоскалярный вклад содержит квадрат матричного элемента 0|d5u|, который, как легко убедиться, используя уравнение движения, пропорционален величине fm^2(mu+md). Повторяя проведенный выше анализ; получаем результат
F
(t)
=
12C
F
f
2
s
(-t)
– t
1+
4m
4
log(-t/m
2
)
– (mu+md)^2t
.
(27.20)
Хотя выражение (27.20) при разумном выборе кварковых масс можно привести в согласие с экспериментальными данными, но этот результат трудно принимать всерьез, так как вклады от операторов высших твистов в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (фактически мы здесь имеем массовую сингулярность); простая факторизация, использованная при выводе (27.20), здесь не применима. Таким образом, коэффициент перед поправкой пока неизвестен.
"Жесткая" часть пионного формфактора, очевидно, расходится в инфракрасном пределе (член 1/(1-) в выражении (27.15). Но, к счастью, в ведущем порядке теории возмущений выполняется соотношение
1
0
d(,Q^2)
n
– >
Q^2->
S
n0
^A
00
,
откуда следует предельное соотношение
(Q^2)