Чтение онлайн

s– d/y = s + d/x + t.

Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим интересующую нас величину в предположении, что x и y известны. Вертолет прилетел в В через s/y ч после вылета. Самолет вернулся в А через (t + 2s/x) ч после того, как вертолет вылетел из А. Нас интересует величина

t + 2s/x– s/y

— на столько позднее самолет вернулся в А, чем вертолет прилетел в В. Таким образом, из полученных уравнений нужно определить 1/x и 1/y. Умножив первое уравнение на d– s, а второе на d и сложив, найдем

(s + d)d/x + d(d– s)/x + t(d– s) + td = 0, т. е. 2d^2/x = t(s– 2d),

откуда

1/x = t(s– 2d)/2d^2.

Из первого уравнения определяем 1/y:

1/y = 1/x + t/d = ts/2d^2.

Следовательно,

t + 2s/x– s/y = t + 2st(s– 2d)/2d^2– ts^2/2d^2 = t + st(s– 4d)/2d^2.

Задача имеет решение, если все участвующие компоненты положительны. Чтобы величина 1/x имела смысл, необходимо s > 2d.

По условию вертолет прилетел в В раньше, чем самолет вернулся в А. Поэтому

t + st(s– 4d)/2d^2 > 0, т. е. s^2 - 4sd + 2d^2 > 0.

Получаем квадратное неравенство относительно отношения s/d:

(s/d)^2 - 4s/d + 2 > 0,

откуда

s/d < 2 - 2 или s/d > 2 + 2.

Первое решение придется отбросить, так как тогда s < 2d–  2 d, а это противоречит условию, что s > 2d.

Ответ.  t + st(s– 4d)/2d^2, s > (2 + 2)d.

18.16. Устье реки, на которой стоит порт M, обозначим через А, а устье второй реки — через В. Расстояние MA обозначим буквой x, а расстояние BN — буквой y. Искомое расстояние тогда будет равно s– (x + y). Путь от M до N пароход прошел за:

Аналогично для пути от N до M получим уравнение

Приравнивая левые части этих уравнений, получим

т. е.

Подставим найденное выражение для x в первое уравнение и найдем

следовательно,

Остается найти s– (x + y).

Ответ.

18.17. Примем расстояние AB за единицу. Пусть скорости пассажирского, курьерского и скорого поездов равны v, 2v и u соответственно (в долях этой единицы).

Тогда время, которое находились в пути до встречи скорый и курьерский поезда, равно 1/u + 2v, а время до встречи скорого и пассажирского будет равно 1/u + v. По условию

1/u + 2v >= 10 1/2 - 8 = 5/2, (13)

1/u + v - 1/u + 2v >= 1. (14)

Нам известно также, что скорый поезд преодолевает расстояние AB за 55 ч. Следовательно, за 1 ч он проходит 6/35 AB, т. е. u = 6/35. Подставим это значение u в каждое из предыдущих неравенств, находим, что, с одной стороны, v <= 4/35, а, с другой стороны, 4/35 <= v <= 9/70. Обоим неравенствам удовлетворяет единственное значение v = 4/35, т. е. пассажирский поезд находился в пути из В в А 8 ч 45 мин и прибыл в А в 16 ч 45 мин.