Чтение онлайн

Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что решение системы неравенств, казалось бы, упростится, если неравенства (13) и (14) сложить и заменить их суммой второе неравенство. Однако система неравенств

оказывается неравносильной первоначальной системе. Неравенство (15) является следствием системы (13), (14), но заменять им произвольное из исходных неравенств мы не имеем права. Система (13), (15) имеет решение v <= 4/35, в то время как решение первоначальной системы v = 4/35.

Ответ. 16 ч 15 мин.

18.18. Пересылка одной детали в каждом из трех комплектов обходится соответственно в 2/7, 1/4 и 7/25 p., т. е. после приведения к общему знаменателю: 200/700, 175/700, 196/700 p. Самой дешевой оказывается пересылка в комплектах по 40 деталей. Однако 1100 на 40 не делится и поэтому придется заказывать не только самые выгодные комплекты. Чтобы потерять как можно меньше, мы будем постепенно отказываться от самых выгодных условий, т. е. рассмотрим случаи, когда в комплекты по 40 штук укомплектованы 1080, 1040, 1000, 960, 920, ... деталей. Первый и второй случаи оказываются неосуществимыми, так как мы не сможем получить оставшиеся детали в надлежащих комплектах. Третий случай вполне допустим: он предполагает, что прибудет 25 комплектов по 40 деталей и 4 комплекта по 25 деталей. Таким образом, пересылка обойдется в 25 · 10 + 7 · 4 = 278 p. Любой другой вариант, как легко видеть, приведет к большим расходам, поскольку количество самых выгодных комплектов уменьшится за счет увеличения количества менее выгодных комплектов (по 25 деталей) или за счет появления самых невыгодных комплектов (по 70 деталей).

Ответ. 25 комплектов по 40 деталей и 4 комплекта по 25 деталей.

19.1. Сравним n– й и (n + 1)-й члены последовательности (здесь V — знак сравнения):

или после упрощений:

Так как

(n + 1/n)n = (1 + 1/n)n = 1 + n · 1/n + ...,

где многоточиями обозначены некоторые положительные члены, то

(n + 1/n)n > 2 при n > 1.

Следовательно, последовательность убывающая, начиная со второго члена.

19.2. Так как аp, аq, аr и аs — члены арифметической прогрессии, то

aq– aр = d(q– p), ar– aq = d(r– q), as– ar = d(s– r).

Кроме того, aрar = aq^2, aqas = ar^2, apas = aqar, что отражает условие, в силу которого aр, aq, ar и as образуют геометрическую прогрессию. Из первой группы формул имеем

Составим произведение (p– q)(r– s) и воспользуемся второй группой формул:

что и доказывает сформулированное в условии утверждение.

19.3. По условию

a = a1 + d(m– 1) = u1qm– 1, b = a1 + d(n– 1) = u1qn– 1, c = a1 + d(p– 1) = u1qp - 1.

Составим разности:

b– с = d(n– p), с– а = d(p– m), а– b = d(m– n).

Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:

После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает равенство произведения единице.

19.4. Перейдем в левой части равенства к общему основанию x и сделаем некоторые упрощения:

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что b/a = c/b = q — знаменателю прогрессии, а также тем, что 

19.5. Имеем

Ответ.

19.6. Преобразуем выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

После извлечения квадратного корня получим

19.7. Из условия следует, что

а следовательно, (а1– a3)^2 = 0, а1 = а3. Поскольку

Первое уравнение можно последовательно преобразовать:

Подставив найденное значение x во второе уравнение системы, получим

Теперь можно найти x:

x = -2 log2 y = 1/2 log2 5.

Ответ.

19.8. Пусть q — знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета

x1(1 + q) = 3, x1q^2(1 + q) = 12, x1^2q = A, x1^2q5 = B.

Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим q^2 = 4.

Так как последовательность по условию является возрастающей, то q = 2, откуда x1 = 1, что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.