Чтение онлайн

Из двух вторых уравнений определяем А и В.

Ответ. А = 2, В = 32.

19.9. Пусть x2 = x1q, x3 = x1q^2. Тогда по теореме Виета, примененной к данному уравнению, имеем

x1 + x1q + x1q^2 = 7, x1^2q + x1^2q^2 + x1^2q^3 = 14.

Из первого уравнения получим x1(1 + q + q^2) = 7. Это позволяет следующим образом преобразовать левую часть второго уравнения:

x1^2q(1 + q + q^2) = 7x1q,

откуда x1 = 2/q. Подставим выражение для x1 в первое уравнение, получим

2(1 + q + q^2)/q = 7, т. е. 2q^2 - 5q + 2 = 0,

откуда

q1 = 1/2 , q2 = 2.

Теперь для каждого из этих двух значений q можно найти x1. При q = 1 получим, что x1 = 4, т. е. прогрессия убывающая. Во втором случае при q = 2 имеем x1 = 1, и прогрессия — возрастающая.

Ответ. 1, 2, 4.

19.10. Из условия следует, что

Произведение n первых членов прогрессии равно

Ответ. 2.

19.11. Пусть а — цифра сотен, d — разность прогрессии. Искомое число делится на пять, если его последняя цифра либо 0, либо 5, т. е. либо а + 2d = 0, либо а + 2d = 5. Чтобы число делилось на девять, сумма его цифр должна делиться на девять. Но поскольку сумма трех цифр может изменяться от нуля до двадцати семи, имеются три возможности:

а + (а + d) + (а + 2d) = 9; 18; 27.

Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999 не делится на пять.

Пусть а + 2d = 0. Если а + d = 3, то d = -3, а = 6. Получим число 630. Если а + d = 6, то d = -6, а = 12, что невозможно.

Пусть теперь а + 2d = 5. Когда а + d = 3, получим d = 2, а = 1, что даст число 135. Когда а + d = 6, получим d = -1, а = 7, что приводит к числу 765. Поскольку все возможности исчерпаны, задача решена.

Ответ. 630; 135; 765.

19.12. Задачу можно решить, обозначив через x цифру единиц, а через q знаменатель прогрессии. Используя условия задачи, мы придем к двум уравнениям:

100xq^2 + 10xq + x–  594 = 100x + 10xq + xq^2, (x + 1) + (xq^2 + 1) = 2(xq + 2).

Первое уравнение можно переписать в виде

x(q^2 - 1) = 6,

а второе — в виде

x(q^2 - 2q + 1) = 2, т. е. x(q– 1)^2 = 2.

Деля первое уравнение на второе, получим

q + 1/q– 1 = 3, q = 2.

Следовательно, x = 2.

Задачу можно решить перебором, если воспользоваться тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию, причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594). Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842, 931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, так как 931 - 594 /= 139 и 964 - 594 /= 469. Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.

Требование, чтобы числа x + 1, хq + 2, хq^2 + 1 образовывали арифметическую прогрессию при таком решении, оказывается лишним.

Ответ. 842.

19.13. Пусть в колхозе было n комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за x ч непрерывной работы, а при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле y ч. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 ч, а производительность одного комбайна 1/x, то

24/x n = 1, т. е. 24n = x.

Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали п1/xy часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал n– 1 ч, второй n– 2, а (n– 1)-й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение

n– 1/x + n– 2/x + ... + 1/x + n1/xy = 1,

или

n– 1/2n + ny = x.

Так как x = 24n, то из этого уравнения можно выразить y через n:

y = 24 - n– 1/2.

Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения

(n + y– 7)(n– 5)1/x = 1.