Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
n
d
4
z e
iq·z
1
i
C
n
2NS
(z^2)
(19.13)
Известно, что в случае свободных полей коэффициенты Cn2NS(z^2) обладают следующим поведением (см. § 18):
i
C
n
2NS
(z^2)
g=0
=
z^2->0
1
^2(z^2-i0)
.
(19.14)
Поэтому в импульсном пространстве введем новые коэффициенты
C
n
2NS
(Q^2/^2,g^2/4)
4(Q^2)
n+1
q^2
n
d
4
z e
iq·z
1
i
C
n
2NS
(z^2).
(19.15)
В результате получим следующее окончательное выражение:
T
2NS
(x,Q^2;g,)
=
2
1
xn+1
A
n
NS
C
n
2NS
(Q^2/^2,g^2/4);
A
(2)^3
A
.
(19.16)
Как будет показано ниже, асимптотическая свобода КХД позволяет вычислить вильсоновские коэффициенты C, входящие в выражение (19.16). Но в общем случае коэффициенты A представляют собой неизвестные константы. Чтобы получить из выражения (19.16) физическую информацию, необходимо иметь возможность выделять вклады отдельных слагаемых в этом выражении. Этого можно добиться, используя известные аналитические свойства величины T и записав дисперсионное соотношение 32) для T2 по переменной при фиксированном значении Q^2:
32 В принципе при записи дисперсионных соотношений необходимо вычесть содержащиеся в них расходимости. Однако, как легко видеть, при условии сходимости выражения (19.19) это требование не вносит каких-либо изменений в изложенную здесь схему. О дисперсионных соотношениях см., например, в книге [104].
T
2NS
(x,Q^2;g,)
=
1
Q^2/2
d'
'-
ImT
2NS
Q^2
2'
,Q^2;g,
–
Q^2/2
–
d'
'-
ImT
2NS
Q^2
2'
,Q^2;g,
.
(19.17)
Это соотношение можно связать с физическими структурными функциями только в том случае, если оно обладает определенной четностью по отношению к замене q->– q, т.е. является либо четной, либо нечетной функцией переменной q. Таким поведением величина 2 обладает, например, в процессах электророждения. В этом случае она является четной функцией переменной x , т.е. 2(x,…)=2(-x,…). Производя замену переменных '->x'=Q^2/2' , перепишем соотношение (19.17) в виде
T
2NS
(x,Q^2;g,)
=
1
1
0
dx'
x'(1-x'^2/x^2)
Im
2NS
(x',Q^2;g,) .
Разложив в ряд по степеням x'/x , получим [77]
T
2NS
(x,Q^2;g,)
=2
n
1
xn
2NS
(n+1,Q^2;g,),
(19.18)
где моменты 2NS определены соотношениями
2NS
(x,Q^2;g,^2)=
1
0
dx'x'
n-2
f
2NS
(x',Q^2;g,) ,
(19.19)
сравнивая которые с (19.16), сразу получаем выражение для моментов
2NS
(x,Q^2;g,^2)=A
n
NS
C
n
2NS
(Q^2/^2,g^2/4) .
(19.20)
Следует помнить, что выражения (19.19) и (19.20) получены в предположении четности функции ; в противном случае интеграл 01dx' нельзя заменить интегралом 10dx' . Следовательно, выражения (19.19*) и (19.20) справедливы только для четных значений n, если функция четная (как это имеет место в случае электророждения), или для нечетных значений n, если функция нечетная (как, например, функция 3 в формулах, описывающих процессы рассеяния нейтрино). Соответствующие выражения для других значений n приходится получать методом аналитического продолжения (Редже — Карлсона). Эта процедура тривиальна, если ограничиться вычислениями только ведущих вкладов (см. § 20), но содержит ряд тонкостей при проведении вычислений во втором порядке теории возмущений. Еще одна особенность заключается в том, что, как уже отмечалось выше, приходится ограничиваться такими значениями n, при которых выражение (19.19) сходится. Исходя из теории Редже, можно ожидать, что такая сходимость имеет место по крайней мере при Re n>=1 для несинглетных величин и при Re n>=2 для синглетных величин (см. также § 23, п. 2).
§ 20. Ренормгрупповой анализ; уравнения КХД для моментов
Запишем ренормгрупповые уравнения для моментов. Так как моменты выражаются в виде интегралов от структурных функций, то они представляют собой физически наблюдаемые величины и, следовательно, не зависят от выбора точки нормировки. Из уравнений (19.6), (19.11) и (19.20) следует, что перенормировочная константа для вильсоновского коэффициента C точно равна обратной величине перенормировочной константы для операторов NR . Таким образом, мы получаем уравнение Каллана — Симанзика
+
(g)g
g
–
NS
(g,n)
C
n
2NS
(Q^2/^2,g^2/4)=0 ,
(20.1)
решение которого имеет вид
C
n
2NS
(Q^2/^2,g^2/4)
=
=
e
– t0 d log(Q'/)NS(g(Q'^2),n)
C
n
2NS