Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
…D
n
q(0): ;
N
1…n
V
=
in-2
(n-2)!
Tr:G
1a
(0)D
2
…D
n-1
G
n
a
(0): ,
19.2
где обозначает симметризацию, т.е. ai1…in=(1/n!)по перестановкам a(i1,…,in) взятие следа производится по цветовым индексам, а ковариантная производная D определяется по формуле
D
G
a
c
ac
+g
f
abc
B
b
G
c
.
С первыми двумя типами операторов (19.2) мы уже встречались (см. (18.14)). При этом оператор Nе определялся в виде суммы Nе=N++N– . Очевидно, что ненулевые проекции кварковых токов на чисто глюонные операторы можно прочить только в том случае, если учесть взаимодействие между глюонами и кварками. Именно поэтому теперь возник оператор NV в (19.2).
Если мы работаем в калибровке, требующей введения духов, то кроме операторов (19.2) необходимо учитывать также операторы, составленные из полей духов. Но можно доказать, что благодаря треугольному виду матрицы смешивания (см.г например, [97, 183]) при рассмотрении операторов с =2 духами можно полностью пренебречь. К этому вопросу мы вернемся несколько ниже. Запишем операторное разложение выражения (19.1) в виде
TJ
p
(z)+J
p
=-
j,n
C
n
1pj
(z^2)g
i
n-1
z
1
…z
n
N
1…n
j
(0)
–
j,n
C
n
2pj
(z^2)i
n-1
z
1
…z
n
N
1…n
j
(0)
+
j,n
C
n
2pj
(z^2)
i
n-2
z
z
1
…z
n
N
1…n
j
(0),
(19.3)
где индекс i относится к тем операторам из (19.2), которые имеют квантовые числа, совпадающие с квантовыми числами исходного произведения J+pJp. Здесь следует отметить, что взаимодействия КХД не нарушают симметрии по ароматам кварков и, следовательно, все вычисления с матрицами действующими в пространстве ароматов, можно проводить так же, как в случае свободных полей. Например, для хронологического произведения двух электромагнитных токов выражение (19.3) принимает вид
iTJ
em
(z)J
em
(0) =
=
g
n четн
C
n
1NS
(z^2)
1
6
N
1…n
NS,3
(0)+
1
63
N
1…n
NS,8
(0)
+
2
9
C
n
1F
(z^2)N
1…n
F
(0)
i
n
z
1
…z
n
+
n четн
C
n
2NS
(z^2)
1
6
N
1…n
NS,3
(0)+
1
63
N
1…n
NS,8
(0)
+
2
9
C
n
2F
(z^2)N
1…n
F
(0)
i
n
z
1
…z
n
+
g
n четн
C
n
1V
(z^2)
2
9
N
1…n
V
(0)
+
n четн
C
n
2V
(z^2)
2
9
N
1…n
V
(0)
i
n-1
z
1
…z
n
.
(19.4)
Здесь использованы симметризованные выражения для операторов N. Это допустимо в данном случае, так как необходимы только диагональные матричные элементы, а членами порядка m^2N/Q^2 пренебрегают (ср. с (18.156), (18.15в)). Выражения (19.3) и (19.4) записаны довольно схематично. При учете кварк-глюонных взаимодействий операторы, входящие в (19.3) и (19.4), подвергаются перенормировке. Помимо прочих эффектов это приводит к двум весьма важным следствиям. Во-первых поскольку операторы NF и NV обладают одинаковыми квантовыми числами (они являются синглетами по группе аромата), выражения для перенормированных операторов NF и NV представляют собой комбинации, содержащие неперенормированные операторы обоих типов. Этого не происходит для операторов NNS, которые при проведении процедуры перенормировок оказываются выраженными через себя же. Во-вторых, после перенормировки появляется зависимость коэффициентов C и операторов N от размерного параметра, который мы временно обозначим буквой , чтобы не путать его с бьеркеновской переменной =p·q.
Токи J, имеющие вид
J
(x)=aV
(x)+bA
(x)
(19.5)
не требуют проведения специальной перенормировки, так как операторы V и A являются сохраняющимися или квазисохраняющимися (см. § 13). Но операторы N и вильсоновские коэффициенты разложения C требуют перенормировки, за исключением некоторых особых случаев.
Перенормировка несинглетных операторов, выражающихся при этом через самих себя, сводится к добавлению перенормировочного множителя31):