Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
(1,
s
(Q^2)) ,
t
=
1/2 log Q^2/^2 .
(20.2)
Для синглетных операторов имеются некоторые дополнительные усложнения, обусловленные тем, что возникает система связанных уравнений. Необходимо ввести дополнительную структурную функцию fV(x,Q^2) , физический смысл которой состоит в том, что она описывает распределение глюонов в нуклоне. Используя векторные обозначения
f=
fF
fV
,
C
n
=
C
n
F
C
n
V
,
2
(n,Q^2)=
1
0
dx x
n-2
f
2
(x,Q^2) ,
(20.3)
аналог выражения (20.2) для синглетного случая можно записать в виде
C
n
2
(Q^2/^2,g^2/4)
=
=
e
– t0 d log(Q'/)(g(Q'^2),n)
C
n
2
(1,
s
(Q^2)) ,
(20.4)
Здесь оператор формально совпадает с оператором упорядочения по времени, за исключением того, что он действует на переменную t= 1/2 log Q^2/^2 . (Подробное изложение см. в работах [157, 162].) Асимптотическая свобода КХД позволяет использовать теорию возмущений и из уравнений (20.2) и (20.4) вычислить вильсоновские коэффициенты. Но так как величины An пока неизвестны, можно рассчитать лишь характер зависимости моментов от переменной Q^2 . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение (20.2) в низшем порядке теории возмущений. Решение этого уравнения имеет вид
C
n
2NS
(Q^2/^2,g^2/4)
=
C
n
2NS
(1,0)
log Q^2/^2
log ^2/^2
d(n)
,
(20.5)
где аномальная размерность d(n) определяется формулой
d(n)
= -
(0)
NS
(0)/2
0
.
(20.6 а)
Коэффициенты Cn2NS(1,0) равны просто вильсоновским коэффициентам, полученным в § 18 для случая свободных полей. Неизвестные константы An и ^2 можно исключить, нормируя на заданное значение Q^20 , достаточно большое, чтобы константа связи s(Q^20) была малой и было оправданно применение теории возмущений. В результате получаем уравнения КХД, описывающие в ведущем порядке теории возмущений зависимость моментов от переменной Q^2 . Опуская некоторые индексы, находим решения этих уравнений: для несинглетного случая
NS
(n,Q^2)
=
s(Q
2
0 )
s(Q
2
)
d(n)
NS
(n,Q
2
0
)
(20.6 б)
и для синглетного случая
(n,Q^2)
=
s(Q
2
0 )
s(Q
2
)
D(n)
(n,Q
2
0
);
D(n)
=
–
(0)
(n)/2
0
.
(20.7)
Рис. 14. Диаграммы, используемые при вычислении коэффициента ZNSn.
Остается лишь вычислить аномальные размерности (0)NS и (0)(n) . Сначала нужно вывести фейнмановские правила диаграммной техники для операторов N. Они получаются прямым вычислением (см. § 42) и приведены в приложении Д. Затем надо вычислить перенормировочные константы для операторов N. Результат для синглетного случая можно найти в работе [162]. Здесь мы рассмотрим вычисление величин N1…nNS , которым соответствуют диаграммы рис. 14. В фейнмановской калибровке диаграмма рис. 14, а дает
V
Aij
=i
5
g^2
d
D
k
k4(k-p)^2
a,l
t
a
il
t
a
lj
.
Для того чтобы вычислить перенормировочный множитель Z , достаточно знать расходящуюся часть коэффициента при величине (·p)n-1
. Будем использовать обозначение aeff=b , которое означает, что величины а и b имеют одинаковые расходящиеся части. После стандартных выкладок получаемV
Aij
=
ig^2C
F
ij
1
0
dx(1-x)
x
d
D
l
– 2(