Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
(l^2+x(1-x)p^2)^3
.
Расходящаяся часть члена, пропорционального величине (·p)n-1
легко выделяется и имеет видV
Aij
eff
=
ig^2
ij
C
F
1
0
dx(1-x)
dDl
[l^2+x(1-x)p^2]^3
x
–
2l^2
D
x
n-1
(
·p)
p-1
=
g^2
16^2
N
C
F
2
n(n+1)
(
·p)
n-1
ij
.
(20.8)
Вклад диаграммы рис. 14, б описывается выражением
V
Bij
=
– i^3g^2C
F
ij
x
d
D
k
{
n-2
l=0 (·p)l[·(p+k)]n-l-2(
k^2(k+p)^2
.
Здесь также необходимо найти коэффициент при величине (·p)n-1
. Повторяя ту же процедуру, получаемV
Bij
eff
=
2ig^2C
F
ij
1
0
dx
d
D
q
n-2
l=0 (·p)l[·q+x·p]n-1-l
(q^2+x(1-x)p^2)^2
eff
=
– 2
g^2N
16^2
C
F
ij
(
·p)
n-1
1
0
dx
n-1
l=1
x
l
=
g^2
16^2
N
C
F
ij
– 2
n
l=2
1
l
(
·p)
n-1
.
(20.9)
Диаграмма рис. 14, в приводит к ответу, совпадающему с результатом (20.9) для диаграммы рис. 14, б. Диаграмма рис. 14, г приводит к результатам, эквивалентным перенормировочному коэффициенту ZF . Чтобы вычислить тетерь аномальные размерности y NS , необходимо добавить вклады от контрчленов, обеспечивающие конечность выражения ZnZ– 1FN . Таким образом, используя значение перенормировочного множителя ZF , вычисленное в § 9, находим
Z
NS
n
=1+
g^2N
16^2
C
F
4S
1
(1)-3-
2
n(n+1)
,
(20.10)
S
1
(n)=
n
j=1
1
j
,
(20.11)
откуда получаем
(0)
NS
(n)=
2C
F
4S
1
(1)-3-
2
n(n+1)
,
(20.12)
d(n)=
1
33-2nf
1
2n(n+1)
+
3
4
– S
1
(n)
.
(20.13)
Для синглетного случая аналогичным способом можно получить ответ, записываемый в матричном виде:
D
n
=
16
33-2nf
x
33-2nf
16
d(n)
3nf
8
·
n^2+n+2
n(n+1)(n+2)
n^2+n+2
2n(n^2-1)
33-2nf
16
+
9
4
1
n(n-1)
+
1
(n+1)(n+2)
– S
1
(n)
.
(20.14)
Выражения для величины S1(n) можно аналитически продолжить на случай комплексных значений переменной n . Согласно теореме Карлсона (см., например, [246]), существует единственное продолжение, для которого остаются справедливыми уравнения (19.19), (20,3), (20.6) и (20.7) для комплексных значений n. Оно имеет вид
S
1
(n)=n
k=1
1
k(k+n)
.
(20.15 а)
Отметим, что с определенным таким образом аналитическим продолжением на случай комплексных значений переменной n (которое совпадает g выражением (20.11) для целочисленных значений n) величину S1(n) можно представить в виде
S
1
(n)
=
(n+1)+
E
,
(z)
d log(z)