Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
dz
.
(20.15 б)
В рассматриваемом порядке теории возмущений аналитические продолжения функции (0)(n) на область комплексных значений переменной n, начинающиеся с четных или нечетных значений n, совпадают. Поэтому никаких проблем, связанных с четностью или нечетностью структурных функций либо со справедливостью исходных уравнений при четных или нечетных значениях переменной n, не возникает.
§21. Уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений
В § 20 мы вывели уравнения КХД для моментов в ведущем порядке теории возмущений. Обратимся теперь к поправкам второго порядка.
Как видно из уравнений (20.2) и (20.4), для того чтобы вычислить поправки второго порядка, необходимо рассмотреть два различных эффекта33). Это, во-первых, эффект, связанный с учетом аномальных размерностей (1)NS(n) и (1)(n) втором порядке теории возмущений. Во-вторых, необходимо вычислить следующий член разложения вильсоновских коэффициентов:
33Конечно, помимо использования выражения для константы связи s(Q^2) во втором порядке теории возмущений (§ 14) и учета конечных частей диаграмм первого порядка.
C
n
NS
(1,
s
(Q^2))=C
n
NS
(1,0)
1+C
n(1)
NS
(1,0)
(Q^2)
4
+…
.
(21.1)
Вычисление аномальных размерностей для несинглетных операторов NNS было выполнено в работе [125], а для синглетных - в работе [126]. Полученные результаты сформулированы в более простом аналитическом виде для несинглетных операторов в статье [150] и для синглетных — в статье [151]. Недавно они были проверены [84, 131], и лишь для коэффициента при аномальной размерности (1)VV(n) было найдено выражение, отличающееся от полученного ранее34). Пусть величины (1)±NS(n) относятся к четным (нечетным) структурным функциям. Тогда имеем
34) Результаты работы [131] недавно были проверены независимым образом.
(1)±
NS
(n)
=
32
9
S
1
(n)
67+8
2n+1
n^2(n+1)^2
– 64S
1
(n)S
2
(n)
–
32
9
[S
2
– S
±
^2
(n/2)]
2S
1
(n)-
1
n(n+1)
–
128
9
S
±
(n)+
32
3
S
2
(n)
3
n(n+1)
– 7
16
9
S
±
^3
n
2
–
28-16
1514+260n^3+96n^2+3n+10
9n^3(n+1)^3
±
32
9
·
2n^2+2n+1
n^3(n+1)^3
+
32nf
27
x
6S
2
(n)-10S
1
(n)+
3
4
+
11n^2+5n-3
n^2(n+1)^2
,
(21.2 а)
S
+
l
(x/2)
=
S
l
(x/2)
,
S
–
l
(x/2)
=
S
l
x-1
2
,
S
±
(x)
=
–
5
8
(3)±
k=1
(-1)k
(k+x)^2
S
1
(k+x)
.
(21.2 б)
Сводку формул для величин (1)ij можно найти в работе [194], где для аномальной размерности (1)VV принят результат, полученный в работе [131].
Обратимся теперь к вильсоновским коэффициентам. Поскольку они представляют собой константы, их можно вычислить, взяв матричные элементы от хронологического произведения TJJ между произвольными состояниями. Эту свободу в выборе состояний можно использовать, чтобы максимально упростить вычисления. Естественно, удобно выбрать кварковые и глюонные состояния. Следует помнить, что в отличие от аномальных размерностей вильсоновские коэффициенты зависят от рассматриваемого процесса и структурной функции. Сводку значений35) коэффициентов Cn(1)NS(1,0) и Cn(1)(1,0) можно найти в работах [27, 55]. Здесь мы приведем пример вычисления продрльной структурной функции.
35) Некоторые из коэффициентов C были вычислены ранее в работах [1, 13, 63,90, 126, 168,181,164, 271, 279] и др. Значения, приведенные в работах [27, 55], проверены по крайней мере двумя независимыми вычислениями.
В ведущем порядке теории возмущений структурные функции f1 и f2 равны, и, следовательно, продольная структурная функция fL равна нулю. Для случая свободных полей это показано в § 18. Но так как поправки ведущего порядка сводятся просто к умножению коэффициентов CnL(1,0) на множитель (log Q^2/^2)(n), где =d или =D, все моменты от продольной структурной функции fL , как и утверждалось, в этом порядке равны нулю. Это означает, что для продольной структурной функции формула (21.1) принимает вид
C
n
L
(1,
s
)
=
C
n(1)
L
(1,0)
s
4
+… .
(21.3)
Это выражение определяет степень пертурбативного нарушения соотношения Каллана — Гросса. Его удобно представить в виде произведения двух сомножителей
C
n(1)
PL
(1,0)