Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
NS
(n)
=
C
(1)
F
(n)
=
C
F
2[S
1
(n)]^2+3S
1
– 2S
2
(n)-
2S1(n)
n(n+1)
=
+
3
n
+
4
n+1
+
2
n^2
– 9
,
(21.9 а)
C
(1)
V
=
4
F
n
f
–
1
n
+
1
n^2
+
6
n+1
–
6
n+2
– S
1
(1)
n^2+n+2
n(n+1)(n+2)
.
(21.9 б)
Поскольку мы объяснили общие методы, можно записать в явном виде уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений. Для несинглетного случая имеем
NS
(n,Q^2)
=
s(Q
2
0 )
s(Q
2
)
d(n)
x
1+C
(1)
NS (n)s(Q
2
)/4
1+C
(1)
NS (n)s(Q
2
0 )/4
1+1s(Q
2
)/40
1+1s(Q
2
0 )/40
p(n)
x
NS
(n,Q
2
0
);
p(n)
=
1/2
(1)
NS
(n)/
1
–
(0)
NS
(n)/
0
.
(21.10)
Для синглетного случая возникают некоторые дополнительные трудности. Нужно начать с определения матрицы C(1)(n), имеющей матричные элементы C(1)12(n)=C(1)V(n) , C(1)11(n)=C(1)F(n) ,
C
(1)
21
(n)=
D21(n)
D12(n)
C
(1)
12
(n) ,
C
(1)
22
(n)=C
(1)
11
(n)+
D22(n)-D11(n)
D12(n)
C
(1)
12
(n) .
Если принять такое определение, то матрицы C(1) и D коммутируют. Введем обозначения для s(Q^2) и 0 для s(Q^20) . Тогда уравнения для моментов в синглетиом случае принимают вид [149]
(n,Q^2)
=
C
(n,)
C
– 1
(n,
0
)
M
(n;,
0
)
(n,Q^2
0
) ,
(21.11)
где введены обозначения C=1+C(1)/4; ,
R
(n,,
0
)=1-
– 0
4
·
1
2
2
0
(0)
(n)+
(n,
0
) ,
(n,,
0
)
=
– 3
32
·
0
4
r
0
d
r' e
– 30r'/16
[
M
0
(n,r')]
– 1
(1)
(n)
M
0
(n,r') ,
M
(n,,
0
)
=
0
D(n)
R
(n,,
0
) ,
r
=
16
30
log
0
,
M
(n,r')
=
e
– 3r'(0)(n)/32
.
Уравнение для моментов в синглетном случае можно переписать в другом виде, более удобном в некоторых приложениях. Пусть матрица Sn диагонализует матрицу Dn :
S
– 1
(n)
D
(n)
S
(n)
=
D
(n)
d
+
(n)
0
0
d
–
(n)
, d
+
(n) > d
–
(n) .
Ее можно выбрать так, чтобы det S=S11=1 ; тогда матрица S имеет вид