Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
=
P
B
n(1)
L
,
(21.4)
один из которых зависит от рассматриваемого процесса, а другой не зависит. При этом множители P имеют вид
PNS
=
1
6
, для f
eN
^2
1
, для f
±I
^2
PF
=
5
18
, для f
eN
2F
1
, для f
±I
^2
(21.5)
Рис. 15. Диаграмма, дающая вклад в несинглетную часть продольной структурной функции fL
Рис. 16. Диаграмма, дающая вклад в синглетную часть продольной структурной функции fL
где индекс N принимает значения N=p (протон) или n (нейтрон), а индекс / обозначает "изоскалярный" нуклон. Рассмотрим теперь продольную структурную функцию fNSL . Выражение для продольной структурной функции получается в результате вычисления диаграмм рис. 15, так как все другие диаграммы дают либо одинаковые вклады, которые сокращаются при вычислении разности f1– f2 , либо вклады только в синглетную часть36). Более того, поскольку разложение продольной структурной функции fL начинается с членов первого порядка по константе связи s , нет необходимости рассматривать вклад от перенормировочных множителей операторов N , которые в данном случае приводят к поправкам порядка O(^2s) . Вычисления можно еще более упростить, заметив, что если в выражении для тензора сохранить члены, пропорциональные компонентам импульса q и q , то продольная структурная функция будет единственной инвариантной амплитудой, пропорциональной произведению qq . Например, в случае векторных токов имеем
36) При вычислении синглетной части следует учитывать также диаграммы рис. 16.
=
(g
– q
q
/q^2)T
L
+
g
– p
p
q^2
+
pq+pp
2
,
f
L
=
1
2
Im
L
.
(21.6)
В общем случае вычисления следует проводить для импульсов p^2<0, чтобы можно было контролировать инфракрасные расходимости. Но это условие не является необходимым при расчете fL , которая в рассматриваемом порядке теории возмущений остается конечной в пределе p^2->0 .
Амплитуда, соответствующая диаграмме рис. 15, имеет вид
i
2
(2)^3
d
4
z e
iq·z
p,|J
(z)J
(0)|p,
=
'
ij
=-
d
C
F
ij
g^2
1
4
u
(p,)
x
d
D
k
(
(p+k)4(p+k+q)^2k^2
u(p,)
+
"кросс"-член.
Используя соотношение
u
(p,)Mu(p,)=Tr(
M) ,
выделяя член, пропорциональный произведению qq , и вводя фейнмановские параметры, находим
'
NS
L
=
g^2
16^2
C
F
8
x
1
0
d
·
1
0
d
(1-u2)u1
[1-u2– (1-(u1+u2)/x]^2
,
где u1= и u2=1- . Разлагая в ряд по степеням 1/x и интегрируя, получаем
'
NS
L
=
g^2
16^2
4C
F
n=1
1
n+1
1
x
n
Перекрестные диаграммы удваивают значения коэффициентов при четных степенях 1/x и приводят к сокращению членов разложения, содержащих 1/x в нечетной степени. Таким образом, окончательный результат имеет вид
NS
L
=
2g^2
16^2
4C
F
n четн
4
n+1
1
x
n
(21.7)
Записывая аналог выражения (19.18), находим
B
n(1)NS
L
=
4
n+1
C
F
,
n — четное число
NS
L
(n,Q^2)
=
NS
L
s(Q^2)
·
CF
n+1
NS
2
(n,Q^2) .
(21.8)
Детальное изложение вычислений других коэффициентов B можно найти в статье [27]. Здесь мы лишь приведем результаты для процесса электророждения на протонной мишени:
C
(1)