Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
37) Это выражение нормировано таким образом, что в том случае, если бы фотон * был реальным, амплитуда рассеяния удовлетворяла бы условию F(*+q->G+q)=A .
A
=(2)
– 2
u
(p
f
– k+q,')
i
i
gt
ij
u(p
f
,)
*
(k,) .
Следовательно, вероятность этого процесса пропорциональна тензору
w
=
1/2
dk
2k0
·
dk'
2k'0
(p
f
+q-k-p')
spins
A
*
A
=
1/2
,',
a,j
d
4
k(k
0
)
x
(k^2)(p
0
f
– k
0
+q
0
)[(p
f
– k+q)
2
]
A
*
A
.
Заметим еще раз, что испускается реальный глюон, поэтому следует использовать соотношение
u
(k,)
*
(k,)
=-g
+
ku+ku
k·n
,
где применена светоподобная калибровка
k·=u·=0 ,
u^2=0 .
Учитывая эти выражения и вводя обозначение +(v^2)=(v^2)(v0) , получаем
w
=
1
2(2)^2
g^2C
F
,
(22.8 а)
=
d
4
k
+
(k^2)
+
[(p
f
– k+q)^2]
– g
+
ku+ku
k·u
x
Tr(
(pf– k)4
.
(22.8 б)
В случае безмассовых кварков и глюонов выражения (22.8) оказываются расходящимися, и их следует регуляризовать. Для этого можно использовать размерную регуляризацию, но проще считать исходный кварк виртуальным: p^2f=-^2. Благодаря компактности области интегрирования при этом может возникнуть только логарифмически расходящийся член, который, как будет показано ниже, имеет вид log (Q^2/p^2f). На самом деле, только этот логарифмический член нас и интересует; это существенно облегчает вычисления.
Прежде всего в выражениях (22.8) всюду, за исключением знаменателя, можно положить p^2f=0; поправки будут иметь величину O(^2/Q^2). Таким образом, получаем
– g
+
ku+ku
k·u
Tr(
f
–
)
(
f
–
+
)
(
f
–
)
f
=
– 2(p
f
– k)^2
Tr
(
f
–
+
)
+Tr
(
f
–
+
)
x
[(p·u)(
f
–
)+(p
f
– k)·u
+2k·
f
]
1
u·k
.
Так как p^2f=k^2=0, выполняется равенство 2kpf=-(pf– k)^2. Следовательно, последний член в полученном уравнении пропорционален (pf– k)4 и не дает вклада в логарифмический член. Используя обозначения log= , которое означает, что логарифмические члены в левой и правой частях уравнения равны, получаем