Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
log
=
– 2
dk
2k0
+
[(p
f
– k+q)^2]
1
(pf– k)^2
x
Tr{
(
f
–
+
)
+
(
f
–
+
)
x
[(
f
–
)(p
f
·u/k·u)+
f
[(p
f
– k)·/k·u]]} .
(22.9)
Запишем теперь знаменатель выражения (22.9) в виде
(p
f
– k)^2=--2k
0
p
0
f
2k
3
p
3
f
cos
Он обращается в нуль только при условии cos =1, т.е. в случае коллинеарности векторов k и pf . (Это условие определяет также глюоны, приводящие к поправкам к явлению скейлинга.) Таким образом, во всех других случаях можно положить cos =1, так что, в частности, -функция в выражении (22.9) принимает вид
[(p
f
– k+q)^2]
=(2-Q^2-2Qk
0
=
2
1-x-
Qk0
Удобно ввести обозначение
1-
Qk0
,
(22.10)
и записать -функцию в виде.
[(p
f
– k+q)^2]
=
1
2
(-x) .
Кроме того, мы видим, что в случае cos =1 выполнено условие
k
=0,
=
(1-)p
f
Теперь легко завершить вычисление выражений (22.8):
log
=
– 2
+1
– 1
dcos
0
dk0·k0
2
·
1
(-x)
1+2
1-
x
Tr(
2k0p
0
f cos-(^2+2k0p
0
f )
log
=
log
Q^2
^2
2
d
1+^2
1-
Tr{
(
f
+
)
f
}(x-) .
Таким образом, для структурной функции f2 получаем следуюший результат (обозначения очевидны):
w
2
=4C
F
g^2
16^2
d
1+^2
1-
(x-)log
Q^2
^2
(22.11)
Выражение (22.11) не дает окончательного ответа, так как оно не определено при =1. Эта неопределенность обусловлена глюонами нулевой энергии, которые приводят к характерной инфракрасной расходимости. В действительности можно убедиться в том, что эта расходимость точно сокращается радиационными поправками к вершине и пропагатору, которые мы еще не приняли во внимание. Так как реальный глюон при этом не испускается, вклад таких поправок в выражение для w2 должен быть аналогичен (22.11) с точностью до замены (1+^2)/(1-) на (-1). Суммируя все члены, получаем
w
2
=
C2(F)glog Q^2/^2
d (x-)
1+^2
1-
+(1-)
.
(22.12)
Таким образом, определена искомая поправка к уравнению (22.7), которая имеет вид36в)
36в) В выражениях (22.1За), (22.136) уже учтено правильное значение параметра .
q
f
(x,t)
=
1
0
dy
1
0
dz (zy-1)q
f
(y,t)
(z-1)+
gt
4
P
(0)
NS
(z)
,
P
(0)
NS
=
C
F
3(1-z)-2
1+z^2
(1-z)+
,
(22.13 а)
где для любой функции введено определение
1
0
dz
1
(1-z)+
1
0
dz
(z)-(1)
1-z
(22.13 б)
Заметим, что если эти коэффициенты P(0)NS идентифицировать с получеными ранее коэффициентами, то можно проверить, что они действительно удовлетворяют уравнению (22.4). Именно благодаря этому нет необходимости вычислять коэффициент при (-1); он непосредственно фиксируется условием (0)NS=1 (или условием det (0)(2)=0 для синглетного случая).