Чтение онлайн

Теперь можно сравнить выражения (22.13) и (22.5). Фактически достаточно считать константу g определенной в точке - ^2 и заменить переменную t дифференциалом dt, чтобы записать выражения (22.13) в инфинитезимальном виде.

Рис. 18. Лестничная диаграмма для несинглетного или фермионного рассеяния.

Но существует и более интересный метод. Предположим, что может быть действительно испущено произвольное число глюонов. Тогда нужно просуммировать все диаграммы, содержащие глюон в конечном состоянии. Эта задача, конечно, неразрешима. Но она сильно упрощается, если ограничиться рассмотрением только ведущих логарифмических членов. Можно показать [155], что в этом случае дают вклад только лестничные диаграммы (рис. 18). Оказывается, что эти диаграммы можно вычислить и даже просуммировать. Таким образом, мы воспроизведем результаты стандартных вычислений, получив при этом два преимущества. Во-первых, очевидно, что использование ведущего приближения по бегущей константе связи эквивалентно суммированию всех ведущих логарифмических членов по константе g: ng logn(Q^2/^2). Во-вторых, такое рассмотрение дает некоторые указания, как рассчитывать те процессы, для которых метод операторного разложения неприменим. Мы не будем углубляться в изучение этого вопроса, а сошлемся на книгу [226] и цитированную в ней литературу.

Во втором порядке теории возмущений ядра рассмотренных уравнений были вычислены в работах [84, 131].

Метод Алтарелли — Паризи позволяет представить структурные функции для различных процессов в виде сумм "плотностей распределения кварков" q(x,Q^2), описывающих распределение кварков аромата q. Для упрощения последующих ссылок ниже приводятся выражения для структурных функций некоторых наиболее важных процессов. Обозначим через I изоскалярную мишень, а через p - протонную мишень. Тогда имеем

f

F

2ep

=

2

9

x(u+

u

+d+

d

+s+

s

),

 n

f

=3

5

18

x(u+

u

+d+

d

+s+

s

+c+

c

),

 n

f

=4

f

NS

2ep

=

1

6

x

2

3

u-

1

3

d-

1

3

s+

2

3

u

–

1

3

d

1

3

s

, n

f

=3

1

6

x(u-d-s+

u

–

d

–

s

+c+

c

),

 n

f

=4

(22.14 а)

f

F

2eI

=f

F

2ep

; f

NS

2eI

1

18

x(u+

u

+d+

d

– 2s-2

s

), n

f

=3

1

6

x(c-s+

c

–

s

), n

f

=4.

(22.14 б)

f

NS

2I

=0, f

2I

=f

F

2I

=

9

2

f

F

2ep

, n

f

=3

18

5

f

F

2ep

, n

f

=4.

(22.14 в)

f

F

3I

=0, f

3I

=f

NS

3I

=

x(u-

u

+d-

d

+s-

s

), n

f

=3

x(u-

u

+d-

d

+s-

s

+c-

c

), n

f

=4.

(22.14 г)

Некоторые из этих результатов уже были получены выше. Кроме того, можно ввести понятия распределения "валентных" кварков qv (определив его как избыток числа кварков по сравнению с числом антикварков; для протона 10dxuv=2, 10dxdv=1 и "моря" остальных кварков и т.д. Подробное изложение этого круга вопросов можно найти в обзорах [11, 55].

§ 23. Общие свойства структурных функций а КХД

1. Правила сумм

Как уже неоднократно утверждалось, матричные элементы операторов An вообще говоря, вычислить не удается. Но в некоторых случаях соответствующие составные операторы оказываются связанными с генераторами той или иной группы симметрии. Тогда они представляют собой физически наблюдаемые величины, и их матричные элементы, по крайней мере в принципе, можно измерить. Как обсуждалось в § 13, такие операторы не требуют проведения перенормировок, а их аномальные размерности равны нулю. Следовательно, в пределе Q^2-> матричные элементы оператора An можно вычислить в модели свободных кварков — партонов38).

38) В общем случае необходимо перейти к пределу Q^1->2 для устранения имеющейся в вильсоновских коэффициентах остаточной зависимости от взаимодействия кваркое и глюонов.

Такими свойствами обладают несинглетные операторы при n=1 и синглетные операторы при n=2. Других операторов с указанными свойствами не существует, так как аномальные размерности NS (и собственные значения матрицу) обращаются в нуль только для приведенных значений n. Поэтому, по крайней мере в принципе, можно вычислить абсолютные значения (а не только зависимость от переменной Q^2) интегралов

1

0

dx x

– 1

f

NS

(x,Q^2),

1

0

dx

f(x,Q^2).

(23.1)

Это оказывается практически осуществимым только в некоторых довольно редких случаях, когда интегралы (23.1) удается связать с наблюдаемыми величинами, о которых имеются экспериментальные данные. При этом возникают правила сумм, многие из которых уже были открыты с помощью партонной модели. Эти правила сумм в рамках квантовой хромодинамики получили статус точных утверждений. Здесь мы рассмотрим некоторые типичные примеры.

Начнем с рассмотрения несинглетного случая. Для структурных функций fNS2,3 соответствующие операторы при n=1 представляют собой комбинации величин

N

±

NS

= 1/2 i:

q

(1±

5

)q:,

которые в действительности генерируют преобразования киральной симметрии (§ 10). Как и ожидалось, аномальные размерности этих операторов равны нулю: (0)NS(1)=(1)-NS(0). Для процессов электророждения с участием кварков трех ароматов u, d и s (в случае кварков четырех ароматов разбиение несколько изменяется), используя сокращенные обозначения, получаем