Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
d
0
=
16
33-2nf
3
4
–
E
.
(23.10 б)
Константы 0 и A0NS теоретически рассчитать не удается, но ожидаемое значение параметра 0NS лежит в пределах от 2 до 3 [122].
Для синглетного случая вычисления усложняются из-за матричного характера уравнений. Было найдено, что асимптотическое поведение структурных функций для глюонов отличается от (23.8), но асимптотики структурных функций для кварков сходны с асимптотиками несинглетных структурных функций (см. работы [194, 199], в которых содержатся также вычисления во втором порядке теории возмущений). Эти асимптотики имеют вид
f
F
(x,Q^2)
x->1
A
0S
[
s
(Q^2)]
– d0
(1-x)S(s)
[1+s(s)]
,
(23.11)
f
V
(x,Q^2)
x->1
2
5
A
0S
[
s
(Q^2)]
– d0
(1-x)S(s)+1
(2+S(s))|log(1-x)|
.
(23.12)
Здесь d0 определяется формулой (23.10 б), а параметр S выражается такой же формулой, как NS :
S
(
s
)=
0S
–
16
33-2nf
log
s
(Q^2) .
Коэффициенты A0S и 0S в рамках теории возмущений КХД получить нельзя. Можно утверждать следующее: во-первых, глюонные структурные функции в пределе x->1 стремятся к нулю быстрее, чем синглетные структурные функции кварков, и, во-вторых, все структурные функции быстро убывают в пределе x->1 при Q^2->. Эти выводы подтверждаются всеми экспериментальными данными.
Поправки второго порядка теории возмущений несколько изменяют функциональный вид асимптотик структурных функций в пределе x->1. Например, для несинглетных структурных функций с учетом поправок второго порядка получаем [150]
f
NS
(x,Q^2)
x->1
A
0NS
[
s
(Q
2
)]
– d0
ea(s)s(Q^2)
[1+1NS(s)]
x
(1-x)
1NS(s)+2s[log(1-x)]/3
(23.13)
Здесь коэффициенты NS и a имеют вид
1NS
(
s
)
=
NS
(
s
)-(
NS
(
s
)+1)
4s(Q^2)
3
– a
1
s
(Q^2),
a(
s
)
=
a
0
+a
1
(
NS
(
s
+1)
+
2
3
{[(
NS
(
s
)+1)]^2-'(
NS
(
s
)+1)},
a
0
1.18, a
1
0.66 .
Интересно отметить, что благодаря члену
(1-x)
2s[log(1-x)]/3
(23.14)
поправки можно сделать сколь угодно большими, взяв значение переменной x достаточно близким к единице. Конечно, это означает лишь, что при x->1 как и ожидалось, теория возмущений становится неприменимой. При x=1 возникает необходимость учета связанных состояний (упругий вклад в процесс *+N->all, обусловленный реакцией *+N->N). В действительности существуют и другие причины, по которым рассмотрение на основе теории возмущений становится неприменимым, когда переменная x близка к единице. Из выражения (23.14) видно, что формула (23.13) применима только при промежуточных значениях переменной x :
1-x << 1, но
2s
3
|log(1-x)| << 1.
(23.15)
Асимптотическое поведение структурных функций в пределе x->1 (или n->) вычислено во всех порядках по доминирующим членам вида (slog n)n [15, 71]. С точностью до замены A0NS– >A0S, 1NS– >1S синглетная функция распределения кварков имеет вид, аналогичный (23.13).
Обратимся к рассмотрению поведения структурных функций при x0. При изучении поведения структурных функций в пределе x->0 квадрату 4-импульса Q^2 необходимо приписывать большое фиксированное значение, при котором оправданно применение теории возмущений, и положить ->. В этих условиях имеет место предел Редже39) и так как структурные функции можно интерпретировать как сечения рассеяния виртуального гамма-кванта (или векторных бозонов W, Z) с квадратом инвариантной массы, равным -Q^2, то можно предположить [2] следующее асимптотическое поведение:
39) Сведения о теории Редже можно нвйти, например, в монографии [28].
f(x,Q^2)
x->0
b(Q^2)
R(0)
, x=
Q^2
2
,
(23.16)
где R- соответствующая траектория Редже. В отличие от асимптотик структурных функций в пределе x->1 доказать асимптотические формулы (23.16) в рамках квантовой хромодинамики на современном этапе развития теории не удается.
Перепишем (23.16) в более удобном виде
f
NS
(x,Q^2)
x->0
B
NS
(Q^2)x
,
(23.17 а)
f
i
(x,Q^2)
x->0
B
i
(Q^2)x
, i=F,V .
(23.17 б)
В принципе можно допустить зависимость параметров от Q^2, но КХД и теория Редже показывают, что они имеют постоянные значения с точностью до членов O(M^2/Q^2).