Чтение онлайн

Поведение структурных функций f в пределе x->0 связано с сингулярностями моментов (n,Q^2)39а). Установление этой связи требует аналитического продолжения формул для (n,Q^2) по переменной n. Поскольку моменты выражаются в виде (n,Q^2)=AnCn соответствующие сингулярности обусловливаются особенностями величин An или Cn в зависимости от того, какая из них расположена правее на комплексной плоскости. Можно показать, что асимптотические формулы (23.16) и (23.17) возможны только в том случае, когда крайняя правая сингулярная точка величины An расположена правее соответствующей точки коэффициентной функции Cn. Кроме того, если n0 — такая крайняя правая сингулярная точка A , то она удовлетворяет равенствам

39а) Детали приводимого доказательства можно найти для иесингпетного случая в работе [ 199] и для обоих случаев в первом и втором порядках теории возмущений в работе [194]. В этих работах обсуждаются также другие асимптотики структурных функций в пределе x->0, отличные от реджевских.

n

0

=1-

(NS)

n

0

1+

s

(singlet),

и с необходимостью выполняется соотношение F=Vs.

Так как сингулярности коэффициентных функций Cn совпадают с сингулярностями функций d(n) или D(n), параметры и s удовлетворяют неравенствам

< 1,

s

> 0.

В случае рассеяния частиц, лежащих вне массовой поверхности, второе неравенство обеспечивает существование особенности выше померонного полюса. В пользу этого свидетельствуют результаты расчетов, выполненных Грибовым и Редже (см., например, обзор [ 30] и цитируемую там литературу)

Рассмотрим, теперь синглетный случай. Из выражения (20.7) следует, что величина

[

s

(Q^2)]

D(n)

(n,Q^2)

не зависит от значения Q^2. Пусть матрица S(n) диагонализует матрицу D(n). Запишем матрицу S(n) в виде, аналогичном (21.12), и примем, что она удовлетворяет соотношению

S

– 1

(n)

D

(n)

S

(n)

=

D

(n)=

d

+

(n)

0

0

d

–

(n)

.

(23.18)

Используя асимптотические формулы (23.17) и полагая n=1+s+, находим

(1+

s

+)=

B(Q^2)

(23.19)

Таким образом, величина

[

s

(Q^2)]

D(1+s+)

B(Q^2)

b

не зависит от квадрата 4-импульса Q^2. Применяя матрицу S(1+s+) и полагая ->0, получаем

B

(Q^2)=

S

(1+

s

)

– d+(1+s)

s

0

0

– d-(1+s)

s

b.

При этом собственные значения диагональной матрицы обозначены так, что выполняется условие d+>d– ; следовательно, в ведущем порядке теории возмущений можно пренебречь членом – d– s по сравнению с членом – d+s и мы получаем окончательные соотношения

f

i

(x,Q^2)

x->0

B

0i

[

s

(Q^2)]

– d+(1+s)

x

– s

,

(23.20 а)

B0V

B0F

=

d+(1+s)-D11(1+s)

D12(1+s)

(23.20 б)

Константы B0F , s в рамках КХД вычислить не удается, хотя ожидается, что s 0,1 - 0,6.

Для несинглетных структурных функций имеем

f

NS

(x,Q^2)

x->0

B

0NS

[

s

(Q^2)]

– d(1-)

x

(23.21)

Величина коэффициента B0NS неизвестна; в силу того что параметр связан с точкой пересечения траектории Редже с осью координат, для него можно ожидать значения

=1-

p

(0)0.5 .

Следует отметить три важные особенности. Во-первых, в отличие от асимптотических формул в пределе x->1 поправки высших порядков не искажают результатов, полученных при x0; они сводятся просто к умножению формул (23.20) и (23.21) на 1+b1s , где коэффициент известен. Во-вторых, так как ожидаемые значения параметров , s и комбинаций d(1-), d+(1+s) положительны, при малых значениях x все структурные функции возрастают с увеличением квадрата 4-импульса Q^2 . Это свойство структурных функций также подтверждается экспериментом. Наконец, в-третьих, в отличие от случая x->1 при x0 глюонные функции распределения превышают синглетные функции распределения кварков. Действительно, правая часть (23.20 б) для ожидаемых значений параметра s имеет величину в пределах 4 — 8.

§ 24. Сравнение с экспериментом; параметризации, согласующиеся с КХД, и точечноподобная эволюция структурных функций

Поскольку теоретические предсказания для моментов оказываются проще, чем для самих структурных функций, может показаться, что с экспериментом следует сравнивать предсказания КХД именно для моментов. Но это неудобно по следующим причинам. Во-первых, чтобы экспериментально получить значения моментов структурных функций в широком интервале значений 4-импульса Q^2 , необходимо провести детальные измерения структурных функций для целой последовательности близколежащих значений переменной x. Экспериментально это не всегда выполнимо. Но даже при наличии хороших экспериментальных данных возникают проблемы с вычислением высших моментов. Фактически вычисление высших моментов сводится к взятию интегралов от структурной функции f с весом xn-2. Основной вклад в такие интегралы дает область x1. Так как в этой области значения структурных функций очень малы, экспериментальные ошибки возрастают и даже в самых благоприятных случаях становятся неконтролируемыми при n>=6. Таким образом, теряется огромное количество экспериментальной информации. Указанные трудности послужили причиной для разработки других методов сравнения.